【題目】問題情境:
在綜合與實踐課上,老師讓同學們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學活動.如圖1,將矩形紙片沿對角線剪開,得到和.并且量得,.
操作發(fā)現(xiàn):
(1)將圖1中的以點為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時針方向旋轉(zhuǎn),使,得到如圖2所示的,過點作的平行線,與的延長線交于點,則四邊形的形狀是________.
(2)創(chuàng)新小組將圖1中的以點為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時針方向旋轉(zhuǎn),使、、三點在同一條直線上,得到如圖3所示的,連接,取的中點,連接并延長至點,使,連接、,得到四邊形,發(fā)現(xiàn)它是正方形,請你證明這個結(jié)論.
實踐探究:
(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上,進行如下操作:將沿著方向平移,使點與點重合,此時點平移至點,與相交于點,如圖4所示,連接,試求的值.
【答案】(1)菱形;(2)證明見解析;(3)
【解析】(1)根據(jù)菱形的判定方法進行判定即可.
根據(jù)正方形的判定方法進行判定即可.
在Rt△ABC中,根據(jù)sin∠ACB=,求出∠ACB=30°,在Rt△BCH中,求出在Rt△ABH中,求出的長度,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可.
(1)在如圖1中,
∵AC是矩形ABCD的對角線,
∴∠B=∠D=90°,AB∥CD,
∴∠ACD=∠BAC,
在如圖2中,由旋轉(zhuǎn)知,AC'=AC,∠AC'D=∠ACD,
∴∠BAC=∠AC'D,
∵∠CAC'=∠BAC,
∴∠CAC'=∠AC'D,
∴AC∥C'E,
∵AC'∥CE,
∴四邊形ACEC'是平行四邊形,
∵AC=AC',
∴ACEC'是菱形,
故答案為:菱形;
(2)在圖1中,∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠CAD=∠ACB,∠B=90°,
∴∠BAC+∠ACB=90°,
在圖3中,由旋轉(zhuǎn)知,∠DAC'=∠DAC,
∴∠ACB=∠DAC',
∴∠BAC+∠DAC'=90°,
∵點D,A,B在同一條直線上,
∴∠CAC'=90°,
由旋轉(zhuǎn)知,AC=AC',
∵點F是CC'的中點,
∴AG⊥CC',CF=C'F,
∵AF=FG,
∴四邊形ACGC'是平行四邊形,
∵AG⊥CC',
∴ACGC'是菱形,
∵∠CAC'=90°,
∴菱形ACGC'是正方形;
(3)在Rt△ABC中,AB=2,AC=4,
∴BC'=AC=4,BD=BC=2,sin∠ACB=,
∴∠ACB=30°,
由(2)結(jié)合平移知,∠CHC'=90°,
在Rt△BCH中,∠ACB=30°,
∴BH=BCsin30°=,
∴
在Rt△ABH中,AH=AB=1,
∴CH=AC-AH=4-1=3,
在Rt△CHC'中,tan∠C′CH= .
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖在△ABC中,BO,CO分別平分∠ABC,∠ACB,交于O,CE為外角∠ACD的平分線,BO的延長線交CE于點E,記∠BAC=∠1,∠BEC=∠2,則以下結(jié)論①∠1=2∠2,②∠BOC=3∠2,③∠BOC=90°+∠1,④∠BOC=90°+∠2正確的是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①④ D. ①②④
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC是等邊三角形,D是AC的中點,F為AB邊上一點,且AF=2BF,E為射線BC上一點,∠EDF=120°,則=____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某電力維修小組從點出發(fā),在東西線路上檢修電線,如果規(guī)定向東為正,向西為負,一天中行駛里程(單位:千米)記錄如下:+5,-4,-7,+8,-9,+6,+5
(1)求收工時在地的什么方位?
(2)在記錄中,距離最遠有 千米?
(3)若每千米耗油0.2升,油價為5元/升,問出發(fā)到收工時共需要多少元油錢?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標系xOy中,已知△ABC,∠ABC=90°,頂點A在第一象限,B,C在x軸的正半軸上(C在B的右側(cè)),BC=2,AB=2,△ADC與△ABC關(guān)于AC所在的直線對稱.
(1)當OB=2時,求點D的坐標;
(2)若點A和點D在同一個反比例函數(shù)的圖象上,求OB的長;
(3)如圖2,將第(2)題中的四邊形ABCD向右平移,記平移后的四邊形為A1B1C1D1,過點D1的反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象與BA的延長線交于點P.問:在平移過程中,是否存在這樣的k,使得以點P,A1,D為頂點的三角形是直角三角形?若存在,請直接寫出所有符合題意的k的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)如圖:已知D為等腰直角△ABC斜邊BC上的一個動點(D與B、C均不重合),連結(jié)AD,△ADE是等腰直角三角形,DE為斜邊,連結(jié)CE,求∠ECD的度數(shù).
(2)當(1)中△ABC、△ADE都改為等邊三角形,D點為△ABC中BC邊上的一個動點(D與B、C均不重合),當點D運動到什么位置時,△DCE的周長最小?請?zhí)角簏cD的位置,試說明理由,并求出此時∠EDC的度數(shù).
(3)在(2)的條件下,當點D運動到使△DCE的周長最小時,點M是此時射線AD上的一個動點,以CM為邊,在直線CM的下方畫等邊三角形CMN,若△ABC的邊長為4,請直接寫出DN長度的最小值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知如圖,D是△ABC的邊AB上一點,DE∥BC,交邊AC于點E,延長DE至點F,使EF=DE,連接BF,交邊AC于點G,連接CF.
(1)求證:;
(2)如果CF2=FG·FB,求證:CG·CE=BC·DE.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.
(1)求證:△ABD≌△ACE;
(2)若∠1=25°,∠2=30°,求∠3的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某水果店5月份購進甲、乙兩種水果共花費1700元,其中甲種水果8元/千克,乙種水果18元/千克.6月份,這兩種水果的進價上調(diào)為:甲種水果10元/千克,乙種水果20元/千克.
(1)若該店6月份購進這兩種水果的數(shù)量與5月份都相同,將多支付貨款300元,求該店5月份購進甲、乙兩種水果分別是多少千克?
(2)若6月份將這兩種水果進貨總量減少到120千克,且甲種水果不超過乙種水果的3倍,則6月份該店需要支付這兩種水果的貨款最少應(yīng)是多少元?
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