Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3．過原點(diǎn)O作∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，連接DC，過點(diǎn)D作DE⊥DC，交OA于點(diǎn)E．

（1）填空：寫出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)：D，E．

（2）求過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式；

（3）點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，0），在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得直線GQ與AB的交點(diǎn)P與點(diǎn)C、G構(gòu)成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（2，2），E（0，1）；（2）；（3）存在三個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q，使得△PCG是等腰三角形，或或

【解析】

（1）根據(jù)OA=2，OC=3，OD平分∠AOC，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形全等可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）已知三點(diǎn)，可用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；

（3）應(yīng)當(dāng)明確△PCG構(gòu)成等腰三角形有三種情況，逐一討論求解，要求思維的完備性．

（1）∵OA=2，OC=3，OD平分∠AOC，

∴AD=OA=2，∴D（2,2），

∵DE⊥DC，∴∠ADE+∠BDC=90°，

∵∠BCD+∠BDC=90°，

∴∠ADE =∠BCD ，

在Rt△ADE和Rt△BCD中，

∠A=∠B=90°，AD=BC=2，∠ADE =∠BCD ，

∴△ADE≌△BCD，∴AE=BD=1，

∴OE=1,即E（0，1）．

（2）設(shè)過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式為，

把C（3，0）、D（2，2）、E（0，1）三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中得：

解得 ，

故過點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式為，

（3）設(shè)P（t，2），又G（1，0），C（3，0）

∴，，GC=2，

有三種情況，分別討論：

①PG=PC，則，解得t=2．

∴P（2，2），此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合，即Q（2，2）；

②若PG=GC，則，解得t=1，

∴P（1，2），此時(shí)GP⊥x軸，GP與該拋物線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1，

代入拋物線解析式可得Q（1，）；

③若PC=GC，則，解得t=3

∴P（3，2），此時(shí)PC=GC=2，PCG是等腰直角三角形，

過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，

則QH=GH，設(shè)QH=h，即Q（h+1，h）

∴，解得或（舍去）．

∴Q（）．

綜上所述，存在三個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q，使得△PCG是等腰三角形，

分別是：或或．