Question

含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°．將其繞直角頂點C順時針旋轉α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C邊與AB所在直線交于點D，過點 D作DE∥A'B'交CB'邊于點E，連接BE．
（1）如圖1，當A'B'邊經過點B時，α=

60

°；
（2）在三角板旋轉的過程中，若∠CBD的度數是∠CBE度數的m倍，猜想m的值并證明你的結論；
（3）設BC=1，AD=x，△BDE的面積為S，以點E為圓心，EB為半徑作⊙E，當S=

1

3

S△ABC時，求AD的長，并判斷此時直線A'C與⊙E的位置關系．

Answer 1

分析：（1）有旋轉可得出∠α；
（2）①如圖1，點D在AB邊上時，m=2；②如圖2，點D在AB的延長線上時，m=4．由相似和旋轉的性質得出∠A=∠CBE=30°．從而得出m的值；
（3）先求得△ABC的面積，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情況討論：①當點D在AB邊上時，AD=x，BD=AB-AD=2-x，得出直線A′C與⊙E相切．②當點D在AB的延長線上時，AD=x，BD=x-2，得出直線A′C與⊙E相交．

解答：解：（1）當A′B′過點B時，α=60°；

（2）猜想：①如圖1，點D在AB邊上時，m=2；
②如圖2，點D在AB的延長線上時，m=4．
證明：①當0°＜α＜90°時，點D在AB邊上（如圖1）．
∵DE∥A′B′，
∴

CD

CA′

=

CE

CB′

．
由旋轉性質可知，CA=CA′，CB=CB′，∠ACD=∠BCE．
∴

CD

CA

=

CE

CB

．
∴△CAD∽△CBE．
∴∠A=∠CBE=30°．
∵點D在AB邊上，∠CBD=60°，
∴∠CBD=2∠CBE，即m=2．
②當90°＜α＜120°時，點D在AB的延長線上（如圖2）．
與①同理可得∠A=∠CBE=30°．
∵點D在AB的延長線上，∠CBD=180°-∠CBA=120°，
∴∠CBD=4∠CBE，
即m=4；

（3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2，AC=

3

，S△ABC=

3

2

．
由△CAD∽△CBE得

AD

AC

=

BE

BC

．
∵AD=x，
∴

x

3

=

BE

1

，BE=

3

3

x．
①當點D在AB邊上時，AD=x，BD=AB-AD=2-x，∠DBE=90°．
此時，S=S△BDE=

1

2

BD×BE=

1

2

(2-x)×

3 x

3

=

- 3 x2+2 3 x

6

．
當S=

1

3

S△ABC時，

- 3 x2+2 3 x

6

=

3

6

．
整理，得x²-2x+1=0．
解得x₁=x₂=1，即AD=1．
此時D為AB中點，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE．（如圖3）

∴EC=EB．
∵∠A′CB′=90°，點E在CB′邊上，
∴圓心E到A′C的距離EC等于⊙E的半徑EB．
∴直線A′C與⊙E相切．
②當點D在AB的延長線上時，AD=x，BD=x-2，∠DBE=90°．（如圖2）.S=S△BDE=

1

2

BD×BE=

1

2

(x-2)×

3 x

3

=

3 x2-2 3 x

6

．
當S=

1

3

S△ABC時，

3 x2-2 3 x

6

=

3

6

．
整理，得x²-2x-1=0．
解得x1=1+

2

，x2=1-

2

（負值，舍去）．
即AD=1+

2

．
此時∠BCE=α，而90°＜α＜120°，∠CBE=30°，
∴∠CBE＜∠BCE．
∴EC＜EB，即圓心E到A′C的距離EC小于⊙E的半徑EB．
∴直線A′C與⊙E相交．

點評：本題考查了直線和圓的位置關系，相似三角形的判定和性質以及旋轉的性質，是一道綜合題，難度較大．