Question

12．如圖已知二次函數(shù)y=ax²圖象的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，直線y=$\frac{1}{2}$x+4的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A點(diǎn)（8，8），直線與x軸的交點(diǎn)為C，與y軸的交點(diǎn)為B．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式與B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A，B不重合），過P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于D點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)E．設(shè)線段PD的長為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍（圖1）；
（3）在（2）的條件下，連接BD，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也在拋物線上移動(dòng)，線段BD也繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)BD∥x軸時(shí)（圖2），請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A（8，8），將其代入函數(shù)解析式中即可求得a值，將x=0代入直線方程，即可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由P、D橫坐標(biāo)都為t，將其分別代入二次函數(shù)和直線解析式，用t表現(xiàn)出P、D點(diǎn)縱坐標(biāo)，二者相減即可找到h與t的關(guān)系，因?yàn)镻在線段BA上，由此可找出t的范圍；
（3）BD平行x軸，可知，B、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，從而求出t值，代入（2）中的P點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²圖象過點(diǎn)A（8，8），
∴有8=8²a=64a，解得a=$\frac{1}{8}$，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=$\frac{1}{8}$x²．
∵點(diǎn)B為直線y=$\frac{1}{2}$x+4的圖象與y軸的交點(diǎn)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{1}{2}$×0+4=4，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）．
（2）∵P點(diǎn)在線段BA上，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{2}$t+4）（0＜t＜8），
∵D點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，且P、D橫坐標(biāo)相等，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{8}$t²），
PD=h=$\frac{1}{2}$t+4-$\frac{1}{8}$t²=-$\frac{1}{8}$t²+$\frac{1}{2}$t+4（0＜t＜8）．
（3）∵當(dāng)BD∥x軸時(shí)，B、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，且B（0，4）
即4=$\frac{1}{8}$t²，
解得t=4$\sqrt{2}$．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（4$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)解析式以及直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是利用點(diǎn)在直線和二次函數(shù)圖象上，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得解．