如圖,已知直線與x軸交于點A,與y軸交于點C,拋物線經(jīng)過點A和點C,對稱軸為直線l:,該拋物線與x軸的另一個交點為B.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)點P在直線l上,求出使△PAC的周長最小的點P的坐標(biāo);
(3)點M在此拋物線上,點N在y軸上,以A、B、M、N為頂點的四邊形能否為平行四邊形?若能,直接寫出所有滿足要求的點M的坐標(biāo);若不能,請說明理由.

(1)此拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)(x+3)=﹣x2﹣2x+3;
(2)P點坐標(biāo)為(﹣1,2);
(3)M點坐標(biāo)為(﹣2,3)或(﹣4,﹣5)或(4,﹣21).

解析試題分析:(1)根據(jù)拋物線的交點式可求此拋物線的解析式;
(2)直線BC與對稱軸直線l:x=﹣1的交點即為所求使△PAC的周長最小的點P的坐標(biāo);
(3)討論:當(dāng)以AB為對角線,利用NA=MB和四邊形ANBM為平行四邊形,則可確定M的橫坐標(biāo),然后代入拋物線解析式得到M點的縱坐標(biāo);當(dāng)以AB為邊時,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到MN=AB=4,則可確定M的橫坐標(biāo),然后代入拋物線解析式得到M點的縱坐標(biāo).
試題解析:(1)直線y=﹣3x+3與x軸交于點A,與y軸交于點C,
當(dāng)y=0時,﹣3x+3=0,解得x=1,
則A點坐標(biāo)為(1,0);
當(dāng)x=0時,y=3,
則C點坐標(biāo)為(0,3);
拋物線的對稱軸為直線x=﹣1,
則B點坐標(biāo)為(﹣3,0);
把C(0,3)代入y=a(x﹣1)(x+3)得3=﹣3a,
解得a=﹣1,
則此拋物線的解析式為y=﹣(x﹣1)(x+3)=﹣x2﹣2x+3;
(2)連接BC,交對稱軸于點P,如圖1,

設(shè)直線BC的關(guān)系式為:y=mx+n,
把B(﹣3,0),C(0,3)代入y=mx+n得
解得,
∴直線bC的關(guān)系式為y=x+3,
當(dāng)x=﹣1時,y=﹣1+3=2,
∴P點坐標(biāo)為(﹣1,2);
(3)當(dāng)以AB為對角線,如圖2,

∵四邊形AMBN為平行四邊形,
A點橫坐標(biāo)為1,N點橫坐標(biāo)為0,B點橫坐標(biāo)為﹣3,
∴M點橫坐標(biāo)為﹣2,
∴M點縱坐標(biāo)為y=﹣4+4+3=3,
∴M點坐標(biāo)為(﹣2,3);
當(dāng)以AB為邊時,如圖3,

∵四邊形ABMN為平行四邊形,
∴MN=AB=4,即M1N=4,M2N=4,
∴F1的橫坐標(biāo)為﹣4,F(xiàn)2的橫坐標(biāo)為4,
對于y=﹣x2﹣2x+3,
當(dāng)x=﹣4時,y=﹣16+8+3=﹣5;
當(dāng)x=4時,y=﹣16﹣8+3=﹣21,
∴M點坐標(biāo)為(﹣4,﹣5)或(4,﹣21).
綜上所述,M點坐標(biāo)為(﹣2,3)或(﹣4,﹣5)或(4,﹣21).
考點:二次函數(shù)綜合題.

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