Question

已知：如圖，△ABC關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)B、P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)C、Q．BP=AP=2，且P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）分別寫出Q點(diǎn)和C點(diǎn)的坐標(biāo)，并指出△ABP關(guān)于y軸的對稱三角形；
（2）M為線段CQ上一點(diǎn)，若以x軸為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)△PAM一周形成的旋轉(zhuǎn)體的全面積為5

3

π，求線段AM的長；
（3）N為線段AM上一動點(diǎn)（與點(diǎn)A、M不重合），過點(diǎn)N分別作NH⊥x軸于H，NG⊥y軸于G．求當(dāng)矩形OHNG的面積最大時N點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）P，Q關(guān)于y軸對稱，那么Q的坐標(biāo)應(yīng)該是（1，0），BP=2，那么CQ=2，因此C的坐標(biāo)是（3，0），由于B，P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)分別是C，Q，那么三角形ABP關(guān)于y軸的對稱三角形就應(yīng)該是ACQ；
（2）旋轉(zhuǎn)一周得出的圖形應(yīng)該是兩個圓錐的組合體，也就是以O(shè)A為底面圓半徑，AM和AP為母線長的兩個圓錐．那么關(guān)鍵是求出OA的長，可在直角三角形AOM中，根據(jù)AP，OP的長，求出OA的值，然后根據(jù)圓錐體全面積的計(jì)算方法表示出圓錐的全面積（這里不應(yīng)該算底面圓），進(jìn)而得出AM的值；
（3）求矩形的面積關(guān)鍵是求N點(diǎn)的坐標(biāo)，那么就必須先求出AM所在直線的解析式，根據(jù)直線過A點(diǎn)，我們可將直線設(shè)成y=kx+

3

，然后根據(jù)直線過M點(diǎn)，而OM可以在直角三角形AMO中求出，也就能得出M的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，這樣，可根據(jù)矩形的面積公式，以N的橫坐標(biāo)的絕對值當(dāng)矩形的寬，以N的縱坐標(biāo)的絕對值當(dāng)矩形的長，以此可得出關(guān)于矩形的面積與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判定出x為什么值時，矩形的面積最大，然后將x的值代入AM所在直線的解析式中得出N點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；△ABP與△ACQ關(guān)于y軸對稱；

（2）在Rt△AOP中，∵AP=2，PO=1，AO=

22-1

=

3

，依題意有：

1

2

×2

3

π×2+

1

2

×2

3

π×AM=5

3

π，∴AM=3；

（3）在Rt△AOM中，∵AO=

3

，AM=3，
∴OM=

AM2-AO2

=

6

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

6

，0），設(shè)直線AM的解析式為：y=kx+

3

，
∵直線AM經(jīng)過點(diǎn)M（

6

，0），

6

k+

3

=0，k=-

2

2

，
∴直線AM的解析式為：y=-

2

2

x+

3

．設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y），
則S_矩形AGOH=xy=x（-

2

2

x+

3

）=-

2

2

x²+

3

x=-

2

2

（x-

6

2

）²+

3 2

4

，
∴當(dāng)x=

6

2

時，矩形NGOH的面積取得最大值，
此時y=-

2

2

x+

3

=

3

2

，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

6

2

，

3

2

）．

點(diǎn)評：本題主要考查了對稱的性質(zhì)，一次函數(shù)及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用等知識點(diǎn)，根據(jù)對稱得出各邊的長是解題的關(guān)鍵．