Question

（2012•北辰區(qū)一模）已知二次函數(shù)y=2x²+2mx+m-1．
（1）①若函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=-1，求m的值；②若x≥-1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大，求m的取值范圍；
（2）設(shè)拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（x₁，0），①當(dāng)x₁=-2時(shí)，求m的值；②當(dāng)-3＜x₁＜-2時(shí)，求m的取值范圍；
（3）①若函數(shù)的最小值為-1，求m的值；②當(dāng)2≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最小值為-1，求m的值．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)對(duì)稱軸的公式x=-

b

2a

，即可得到一個(gè)關(guān)于m的方程，求得m的值；
②x≥-1時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大，即-1在對(duì)稱軸上，或?qū)ΨQ軸的右側(cè)，即-

b

2a

≤-1，即可得到關(guān)于m的不等式，從而求得m的范圍；
（2）①（-2，0）是拋物線上的一點(diǎn)，代入函數(shù)的解析式，即可求得m的值；
②根據(jù)根的判別式可以得到拋物線與x軸一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，另一個(gè)交點(diǎn)不在-3＜x₁＜-2的范圍內(nèi)，因而在拋物線的解析式中，當(dāng)x=-3和-2時(shí)，兩個(gè)函數(shù)值一定異號(hào)，據(jù)此即可求得m的范圍；
（3）①函數(shù)的最小值為-1，即函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-1，即可列方程求得m的值；
②分最小值是函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，和不是縱坐標(biāo)兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)不是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)時(shí)，2≤x≤4則一定在對(duì)稱軸的同一側(cè)，則函數(shù)一定經(jīng)過（2，-1）或（4，-1），代入函數(shù)解析式即可求解．

解答：解：（1）①由-

2m

2×2

=-1，得m=2；
②由題意，得-

2m

2×2

≤-1，得m≥2．

（2）①把x₁=-2代入，得0=2（-2）²+2m（-2）+m-1，
解得m=

7

3

；                                       
②△=（2m）²-8（m-1）=4（m-1）²+4＞0．
所以對(duì)任意的m值，拋物線與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)．
設(shè)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₂，則|x1-x2|=

4(m-1)+4

2

≥

2

2

=1，
∴當(dāng)由-3＜x₁＜-2時(shí)，x₂不在這個(gè)范圍內(nèi)．
由-3＜x₁＜-2，得

2(-2)2+2m(-2)+m-1＜0 2(-3)2+2m(-3)+m-1＞0.

或

2(-2)2+2m(-2)+m-1＞0 2(-3)2+2m(-3)+m-1＜0.

，解得

m＞ 7 3 m＜ 17 5

或

m＜ 7 3 m＞ 17 5

（無(wú)解）．
∴

7

3

＜m＜

17

5

．

（3）①

4×2(m-1)-(2m)2

4×2

=-1，
解得：m=0，m=2；
②但最小值為-1，是整個(gè)函數(shù)的最小值時(shí)，即①的情況，求得m=0或2，當(dāng)m=0時(shí)，應(yīng)該有當(dāng)x=0時(shí)，又最小值是-1，故不合題意；
當(dāng)m=2時(shí)，則拋物線的解析式是：y=2x²+4x+1，則當(dāng)x=-1是，又最小值是-1；
因而2≤x≤4應(yīng)該是對(duì)稱軸一側(cè)的點(diǎn)，
對(duì)稱軸是x=-

m

2

，當(dāng)2≤x≤4都在對(duì)稱軸的右側(cè)，則一定過點(diǎn)（2，-1），代入函數(shù)的解析式得：m=-

8

5

；
當(dāng)2≤x≤4都在對(duì)稱軸的左側(cè)，則一定過點(diǎn)（4，-1），代入函數(shù)的解析式得：32+8m+3=-1，解得：m=-

9

2

，（與當(dāng)2≤x≤4都在對(duì)稱軸的右側(cè)相矛盾，故舍去）．
總之，m=-

8

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及頂點(diǎn)坐標(biāo)，正確利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．