Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于點(diǎn)E，且cosα=．下列結(jié)論：

①△ADE∽△ACD；

②當(dāng)BD=6時(shí)，△ABD與△DCE全等；

③△DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或；

④0＜CE≤6.4．

其中正確的結(jié)論是 _________ ．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

Answer 1

①②③④．

【解析】

試題分析：①∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE=∠B，∴∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACD；故①正確，

②作AG⊥BC于G，∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，∴BG=ABcosB，∴BC=2ABcosB=2×10×=16，∵BD=6，∴DC=10，∴AB=DC，在△ABD與△DCE中，∵∠BAD=∠CDE，∠B=∠C，AB=DC，∴△ABD≌△DCE（ASA）．故②正確，

③當(dāng)∠AED=90°時(shí)，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC=∠AED，∵∠AED=90°，∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，BD=8．當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE=90°，∴∠BAD=90°，∵∠B=α且cosα=．AB=10，∴cosB==，∴BD=．故③正確．

④易證得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，設(shè)BD=y，CE=x，∴，∴，整理得：，即，∴．故④正確．

故答案為：①②③④．

考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)．