如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，），C（1，），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q也同時(shí)從點(diǎn)B沿B→ C→O的線路以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）.

（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在CO邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△OPQ的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形能構(gòu)成直角三角形嗎？若能，請(qǐng)求出t的值，若不能，請(qǐng)說明理由；
（4）經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸、直線OB和PQ能夠交于一點(diǎn)嗎？若能，請(qǐng)求出此時(shí)t的值（或范圍），若不能，請(qǐng)說明理由.
（1）（2）（2≤t≤3）（3）不能（4）能夠交于一點(diǎn)，此時(shí)0≤t≤2
解：（1）設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為：，
把A（6，0），B（3，），C（1，）代入得：
，解得：。
∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為：。
（2）∵可求BC=2，OC=2，OA=6
∴當(dāng)點(diǎn)Q在CO邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在OA邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，2≤t≤3。
如圖，過點(diǎn)C作CD⊥x軸的于點(diǎn)D，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸的于點(diǎn)H，

則OD=1，CD=，OC=2，。
由△OQH∽△OCD得，，即，
∴。
又∵動(dòng)點(diǎn)P的速度是每秒2個(gè)單位，∴OP=2t。
∴。
∴所求△OPQ的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為：（2≤t≤3）。
（3）根據(jù)題意可知，0≤t≤3。
當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)Q在BC邊上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，OP=2t，。
∵OD=1，CD=，∴�！�。
∵，∴若△OPQ為直角三角形，只能是或。
若，則，即，
解得，或（舍去）。
若，則，即，
解得，。
當(dāng)2＜t≤3時(shí)，點(diǎn)Q在CO邊上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，OP=2t＞4，，OQ＜OC=2，
∴此時(shí)，△OPQ不可能為直角三角形。
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，△OPQ為直角三角形。
（4）由（1）可得，其對(duì)稱軸為。
又直線OB的解析式為，
∴拋物線對(duì)稱軸與OB的交點(diǎn)為M（0，）。
又P（2t，0），
設(shè)過點(diǎn)P、M的直線解析式為，則
，解得。
∴過點(diǎn)P、M的直線解析式為 。
又當(dāng)0≤t≤2時(shí)，Q，
把代入得
，
∴點(diǎn)Q在直線PM上，即當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)P、M、Q總在一直線上。
當(dāng)2＜t≤3時(shí)，，，∴Q。
代入，解得或，均不合題意，舍去。
綜上所述，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸、直線OB和PQ能夠交于一點(diǎn)，此時(shí)0≤t≤2。
（1）應(yīng)用待定系數(shù)法求解即可。
（2）過點(diǎn)C作CD⊥x軸的于點(diǎn)D，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸的于點(diǎn)H，由△OQH∽△OCD得比例式，從而用t表示出△OPQ的邊OP上的高，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式即可求得所求△OPQ的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式。
（3）分點(diǎn)Q在BC邊上運(yùn)動(dòng)（0≤t≤2）和點(diǎn)Q在CO邊上運(yùn)動(dòng)（2＜t≤3）兩種情況討論。
（4）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線對(duì)稱軸，求出直線OB的解析式，從而得到二者的交點(diǎn)
M（0，），進(jìn)而求出點(diǎn)P、M的直線解析式為。分分點(diǎn)Q在BC邊上運(yùn)動(dòng)（0≤t≤2）和點(diǎn)Q在CO邊上運(yùn)動(dòng)（2＜t≤3）兩種情況討論點(diǎn)Q與直線的關(guān)系，得出結(jié)論。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（－2，－5）、（1，4）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）不用列表，在下圖中畫出函數(shù)圖象，觀察圖象寫出y > 0時(shí)，x的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線的頂點(diǎn)A（2，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，－1）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上找出一點(diǎn)C，使以BC為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)A．并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)以及此時(shí)圓的圓心P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，設(shè)直線x=t（0<t<10）與拋物線交于點(diǎn)N，當(dāng)t為何值時(shí)，△BCN的面積最大，并求出最大值．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

把拋物線的圖象向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式為，則（    ）．
A．12　　　B．9C．　　D．10

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

一條拋物線具有下列性質(zhì)：（1）經(jīng)過點(diǎn)A（0，3）；（2）在y軸左側(cè)的部分是上升的，在y軸右側(cè)的部分是下降的. 試寫出一個(gè)滿足這兩條性質(zhì)的拋物線的表達(dá)式.          ．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，點(diǎn)B1是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)A1、A2都在該拋物線上，四邊形OA1B1C1、OA2B2C2均為正方形，點(diǎn)B2在y軸上，直線C2B2與該拋物線交于點(diǎn)，則的值是        ．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，已知點(diǎn)B（1，3）、C（1，0），直線y=x+k經(jīng)過點(diǎn)B，且與x軸交于點(diǎn)A，將△ABC沿直線AB折疊得到△ABD.

（1）填空：A點(diǎn)坐標(biāo)為（____，____），D點(diǎn)坐標(biāo)為（____，____）；
（2）若拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，求拋物線的解析式；
（3）將（2）中的拋物線沿y軸向上平移，設(shè)平移后所得拋物線與y軸交點(diǎn)為E，點(diǎn)M是平移后的拋物線與直線AB的公共點(diǎn)，在拋物線平移過程中是否存在某一位置使得直線EM∥x軸.若存在，此時(shí)拋物線向上平移了幾個(gè)單位？若不存在，請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）如圖所示，則關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是
A．x＜2B．x＞﹣3C．﹣3＜x＜1D．x＜﹣3或x＞1

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線．

（1）求證：無論為任何實(shí)數(shù)，拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）若為整數(shù)，當(dāng)關(guān)于x的方程的兩個(gè)有理數(shù)根都在與之間（不包括-1、）時(shí)，求的值．
（3）在（2）的條件下，將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象，再將圖象向上平移個(gè)單位，若圖象與過點(diǎn)（0，3）且與x軸平行的直線有4個(gè)交點(diǎn)，直接寫出n的取值范圍是                ．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案