Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c經(jīng)過點（1，2）．
（1）若a=1，二次函數(shù)頂點A，它與x軸交于兩點B、C，且△ABC為等邊三角形，求此時二次函數(shù)的解析式．
（2）若abc=4，且a≥b≥c，求|a|+|b|+|c|的最小值．
（3）在（2）中取得最小值的條件下，若b，c為整數(shù)，請求出此時二次函數(shù)的解析式，并說明該函數(shù)在m≤x≤m+2時的最小值（其中m的常數(shù)）．

Answer 1

分析：（1）將（1，2）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，聯(lián)立a=1，可得出b、c之間的關(guān)系式．如果△ABC是等邊三角形，那么

3

2

倍BC的長正好是A點縱坐標(biāo)的絕對值，聯(lián)立b、c的關(guān)系式可求出b、c的值，從而求出函數(shù)的解析式．
（2）易知：b+c=2-a，bc=

4

a

，可將b、c看做是一元二次方程x²-（2-a）x+

4

a

=0的兩實根，那么可根據(jù)△≥0，求得a的大致取值范圍為a≥4．由于abc=4＞0，且a≥b≥c，則說明①a、b、c均大于0，由于a≥4，如果三數(shù)均為正數(shù)，顯然a+b+c＞4≠2，因此不合題意．②a正，b、c為負(fù)，那么此時|a|+|b|+|c|=a-（b+c）=a-（2-a）=2a-2，根據(jù)得出的a的取值范圍，即可求出|a|+|b|+|c|的最小值．
（3）根據(jù)（2）中的條件，確定b，c的值，求出二次函數(shù)式，根據(jù)討論m的取值范圍，求出最值．

解答：解：（1）由題意，a+b+c=2，
∵a=1，
∴b+c=1
拋物線頂點為A（-

b

2

，c-

b2

4

）
設(shè)B（x₁，0），C（x₂，0），
∵x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，△=b²-4c＞0
∴|BC|=|x₁-x₂|=

|x1-x2|2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2-4c

∵△ABC為等邊三角形，
∴

b2

4

-c=

3

2

b2-4c

即b²-4c=2

3

•

b2-4c

，
∵b²-4c＞0，
∴

b2-4c

=2

3

，
∵c=1-b，
∴b²+4b-16=0，b=-2±2

5

∴當(dāng)b=-2+2

5

時，c=3-2

5

當(dāng)b=-2-2

5

時，c=3+2

5

∴此時二次函數(shù)的解析式為：
y=x²+（-2+2

5

）x+3-2

5

或
y=x²+（-2-2

5

）x+3+2

5

（2）∵a≥b≥c，若a＜0，則b＜0，c＜0，a+b+c＜0，與a+b+c=2矛盾．
∴a＞0．
∵b+c=2-a，bc=

4

a

∴b，c是一元二次方程x²-（2-a）x+

4

a

=0的兩實根．
∴△=（2-a）²-4×

4

a

≥0，
∴a³-4a²+4a-16≥0，即（a²+4）（a-4）≥0，故a≥4．
∵abc＞0，
∴a，b，c為全大于0或一正二負(fù)．
①若a，b，c均大于0，
∵a≥4，與a+b+c=2矛盾；
②若a，b，c為一正二負(fù)，則a＞0，b＜0，c＜0，
則|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（2-a）=2a-2，
∵a≥4，
故2a-2≥6
當(dāng)a=4，b=c=-1時，滿足題設(shè)條件且使不等式等號成立．
故|a|+|b|+|c|的最小值為6．
（3）根據(jù)（2）中的條件，可知道a=4，b=-1，c=-1．
y=4x²-x-1，二次函數(shù)開口向上．
頂點的橫坐標(biāo)：x=

1

8

，
當(dāng)m+2＜

1

8

，即m＜-

7

8

，
最小值為：4（m+2）²-m-1=4m²+15m+15．
當(dāng)m＞

1

8

時，
最小值為：y=4m²-m-1．
當(dāng)m≤

1

8

≤m+2時，
最小值為：-

17

16

．

點評：本題考查二次函數(shù)的綜合運用，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，三邊相等，以及兩點間的距離公式求出求出b，c的值，確定函數(shù)式，以及根據(jù)坐標(biāo)和所給的條件求出最值，以及函數(shù)的性質(zhì)等知識點．