Question

已知拋物線y=ax²-4ax+4a-2，其中a是常數(shù)．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若a＞

2

5

，且拋物線與x軸交于整數(shù)點(diǎn)（坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)），求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線的解析式為y=ax²-4ax+4a-2，把其化為頂點(diǎn)式，從而求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由題意a＞

2

5

，根據(jù)公式法求出ax²-4ax+4a-2=0的根，再由題意拋物線與x軸交于整數(shù)點(diǎn)（坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)），來確定a的值，從而求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）依題意，得a≠0，
∴y=ax²-4ax+4a-2=a（x²-4x+4）-2=a（x-2）²-2；
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2）；（2分）

（2）∵拋物線與x軸交于整數(shù)點(diǎn)，
∴ax²-4ax+4a-2=0的根是整數(shù)，
∴x=

4a± 16a2-4a(4a-2)

2a

=2±

2a

a

是整數(shù)，
∵a＞0，x=2±

2 a

是整數(shù)；（3分）
∴

2

a

是整數(shù)的完全平方數(shù)．∵a＞

2

5

，
∴

2

a

＜5，（4分）
∴

2

a

取1，4，
當(dāng)

2

a

=1時(shí)，a=2；當(dāng)

2

a

=4時(shí)，a=

1

2

．
∴a的值為2或

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=2x²-8x+6或y=

1

2

x2-2x．（6分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查一元二次方程與函數(shù)的關(guān)系及用公式法求出方程的根．