Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過原點(diǎn)O，且與x軸交于另一點(diǎn)A（A在O右側(cè)），頂點(diǎn)為B．艾思軻同學(xué)用一把寬3cm的矩形直尺對(duì)拋物線進(jìn)行如下測(cè)量：
（1）量得OA=3cm；
（2）當(dāng)把直尺的左邊與拋物線的對(duì)稱軸重合，使得直尺左下端點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)（如圖），測(cè)得拋物線與直尺右邊的交點(diǎn)C的刻度讀數(shù)為4.5cm．
艾思軻同學(xué)將A的坐標(biāo)記作（3，0），然后利用上述結(jié)論嘗試完成下列各題：
①寫出拋物線的對(duì)稱軸；
②求出該拋物線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：①由于O、A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且OA=3cm，由此可求得拋物線的對(duì)稱軸為x=

3

2

．
②根據(jù)O、A的坐標(biāo)，可將拋物線解析式設(shè)為交點(diǎn)式，在（1）題求得了拋物線的對(duì)稱軸，即可得到B、C的橫坐標(biāo)，分別代入拋物線的解析式中，表示出它們的縱坐標(biāo)，根據(jù)C、B的縱坐標(biāo)差為4.5即可列方程求出待定系數(shù)的值，從而確定拋物線的解析式．

解答：解：①∵拋物線過原點(diǎn)O，且與x軸交于另一點(diǎn)A（A在O右側(cè)），OA=3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=

3

2

；

②∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=

3

2

，
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-

3

2

）²+k，
∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

3

2

，k）．
如圖1，∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為：ON=

3

2

+3=

9

2

，點(diǎn)C在拋物線y=a（x-

3

2

）²+k上，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為a（

9

2

-

3

2

）²+k=9a+k．
∵M(jìn)C=4.5，
∴9a+k-k=4.5，
∴a=

1

2

，
將A點(diǎn)坐標(biāo)（3，0）代入y=

1

2

（x-

3

2

）²+k，
得

1

2

（3-

3

2

）²+k=0，解得k=-

9

8

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

（x-

3

2

）²-

9

8

，即y=

1

2

x²-

3

2

x．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用頂點(diǎn)式二次函數(shù)的解析式，根據(jù)拋物線的性質(zhì)運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．