【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標為(4,),且與y軸交于點C(0,2),與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左邊).
(1)求拋物線的解析式及A,B兩點的坐標;
(2)在(1)中拋物線的對稱軸l上是否存在一點P,使AP+CP的值最小?若存在,求AP+CP的最小值,若不存在,請說明理由;
(3)在以AB為直徑的⊙M相切于點E,CE交x軸于點D,求直線CE的解析式.
【答案】解:(1)由題意,設拋物線的解析式為(a≠0)
∵拋物線經過(0,2)∴,解得:。
∴拋物線的解析式為,即:。
令y=0時,,解得:x=2或x=6。
∴A(2,0),B(6,0)。
(2)存在。
如圖1,由(1)知:拋物線的對稱軸l為x=4,
因為A、B兩點關于l對稱,連接CB交l于點P,則AP=BP,所以AP+CP=BC的值最小。
∵B(6,0),C(0,2),∴OB=6,OC=2。∴BC=2。
∴AP+CP=BC=2。
∴AP+CP的最小值為2。
(3)如圖2,連接ME,
∵CE是⊙M的切線,∴ME⊥CE,∠CEM=90°。
由題意,得OC=ME=2,∠ODC=∠MDE,
∵在△COD與△MED中,,
∴△COD≌△MED(AAS)。∴OD=DE,DC=DM。
設OD=x,則CD=DM=OM﹣OD=4﹣x,
∵在Rt△COD中,OD2+OC2=CD2,∴,解得x=。
∴D(,0)。
設直線CE的解析式為y=kx+b,
∵直線CE過C(0,2),D(,0)兩點,
則,解得:。
∴直線CE的解析式為。
【解析】
試題(1)利用頂點式求得二次函數的解析式后令其等于0后求得x的值即為與x軸交點坐標的橫坐標。
(2)根據軸對稱的性質,線段BC的長即為AP+CP的最小值。
(3)連接ME,根據CE是⊙M的切線得到ME⊥CE,∠CEM=90°,從而證得△COD≌△MED,設OD=x,在Rt△COD中,利用勾股定理求得x的值即可求得點D的坐標,然后利用待定系數法確定線段CE的解析式即可。
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【題目】如圖,矩形ABCD中,CE⊥BD于E,CF平分∠DCE與DB交于點F.
(1)求證:BF=BC;
(2)若AB=4cm,AD=3cm,求CF的長.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點D、E分別是邊AB、AC的中點,延長DE至F,使得AF∥CD,連接BF、CF.
(1)求證:四邊形AFCD是菱形;
(2)當AC=4,BC=3時,求BF的長.
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【題目】如圖,小王在長江邊某瞭望臺D處測得江面上的漁船A的俯角為40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1:0.75,坡長BC=10米,則此時AB的長約為多少米?(結果精確到0.1,參考數據:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)
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【題目】今年以來,我國持續(xù)大面積的霧霾天氣讓環(huán)保和健康問題成為焦點.為了調查學生對霧霾天氣知識的了解程度,某校在學生中做了一次抽樣調查,調查結果共分為四個等級:A.非常了解;B.比較了解;C.基本了解;D.不了解.根據調查統(tǒng)計結果,繪制了不完整的三種統(tǒng)計圖表.
對霧霾了解程度的統(tǒng)計表:
對霧霾的了解程度 | 百分比 |
A.非常了解 | 5% |
B.比較了解 | m |
C.基本了解 | 45% |
D.不了解 | n |
請結合統(tǒng)計圖表,回答下列問題.
(1)本次參與調查的學生共有 人,m= ,n= ;
(2)圖2所示的扇形統(tǒng)計圖中D部分扇形所對應的圓心角是 度;
(3)請補全條形統(tǒng)計圖;
(4)根據調查結果,學校準備開展關于霧霾知識競賽,某班要從“非常了解”態(tài)度的小明和小剛中選一人參加,現設計了如下游戲來確定,具體規(guī)則是:把四個完全相同的乒乓球標上數字1,2,3,4,然后放到一個不透明的袋中,一個人先從袋中隨機摸出一個球,另一人再從剩下的三個球中隨機摸出一個球.若摸出的兩個球上的數字和為奇數,則小明去;否則小剛去.請用樹狀圖或列表法說明這個游戲規(guī)則是否公平.
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【題目】某中學為使高一新生入校后及時穿上合身的校服,現提前對某校九年級三班學生即將所穿校服型號情況進行了摸底調查,并根據調查結果繪制了如圖兩個不完整的統(tǒng)計圖(校服型號以身高作為標準,共分為6個型號):
根據以上信息,解答下列問題:
(1)該班共有 名學生;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)該班學生所穿校服型號的眾數為 ,中位數為 ;
(4)如果該校預計招收新生1500名,根據樣本數據,估計新生穿170型校服的學生大約有多少名?
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【題目】如圖是二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分,給出下列命題:①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的兩根分別為﹣3和1;④a﹣2b+c>0,其中正確的命題是( )
A. ①②③B. ①③C. ①④D. ①③④
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【題目】如圖,直徑為13的⊙E,經過原點O,并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點,線段OA、OB(OA>OB)的長分別是方程x2+kx+60=0的兩根.
(1)OA:OB=____;
(2)若點C在劣弧OA上,連結BC交OA于D,當△BOC∽△BDA時,點D的坐標為______.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,,點E在邊CD上,且,與關于AE所在的直線成對稱圖形以點A為中心,把順時針旋轉,得到,連接GF,則線段GF的長為______.
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