Question

已知，如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過x軸上的兩點A（x₁，0）、B（x₂，0）和y軸上的點C（0，-

3

2

），⊙P的圓心P在y軸上，且經(jīng)過B、C兩點，若b=

3

a，AB=2

3

．
（1）求拋物線的對稱軸及其中C的值．
（2）求拋物線的解析式．
（3）直線BP與⊙P交于另一點D，求證D點在拋物線對稱軸上，并求過點D⊙P的切線的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用對稱軸公式求出即可求出對稱軸，以及將C點代入求出C的值即可；
（2）根據(jù)一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系求出x₁+x₂=-

3

，x₁•x₂=-

3

2a

，進(jìn)而求出a的值即可；
（3）首先過D作DE⊥y軸于E，證明△BOP≌△DEP，利用勾股定理求出D點坐標(biāo)，再利用過D點⊙P的切線交y軸于F，證出△PDE∽△DEF，從而求出F點的坐標(biāo)，即可得出直線DF的解析式．

解答：解：（1）拋物線的對稱軸為：x=-

b

2a

=-

3

2a

a=

3

2

，
∵拋物線經(jīng)過點C（0，-

3

2

）
∴C=-

3

2

；

（2）由題意得：x₁，x₂是方程ax²+

3

ax-

3

2

=0的兩根，
∴x₁+x₂=-

3

，x₁•x₂=-

3

2a

，
又∵AB=x₁-x₂=2

3

，
∴（x₂-x₁）²=12
（x₁+x₂）²-4x₁x₂=12
∴3+4×

3

2a

=12
∴a=

2

3

，
∴拋物線的解析式為y=

2

3

x²+

2 3

3

x-

3

2

，

（3）在y=

2

3

x²+

2 3

3

x-

3

2

，
中，令y=0，得
4x²+4

3

x-9=0，
解得：X₁=-

3 3

2

，X₂=

3

2

，
∴A（-

3 3

2

，0），B（

3

2

，0）．
過D作DE⊥y軸于E
∵∠OPB=∠EPD，∠POB=∠PED，PB=PD
∴△BOP≌△DEP（SAS）
∴DE=OB
∴D點的橫坐標(biāo)為-

3

2

，
∴D點在拋物線的對稱軸X=

3

2

上，
設(shè)⊙P的半徑為R，則有：（

3

2

-R）²+（

3

2

）²=R²，
∴R=1∴OP=

1

2

，
∴PE=OP=

1

2

，
∴D（-

3

2

，-1），
設(shè)過D點⊙P的切線交y軸于F，
∵DF為⊙P切線，
∴∠PDF=90°，
又∵DE⊥y軸，
∴△PDE∽△DEF，
DE²=PE•EF
∴EF=

3

2

，
∴F（0，-

5

2

），
設(shè)直線DF的解析式為y=kx+b，
∴

- 3 2 k+b=-1 b= - 5 2

，
解得：

k=- 3 b= - 5 2

，
∴直線DF的解析式為：y=-

3

x-

5

2

．

點評：此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及三角形全等的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，靈活的利用數(shù)形結(jié)合正確得出函數(shù)圖象上的交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．