【題目】已知,點P是等邊三角形△ABC中一點,線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到AQ,連接PQ、QC.
(1)求證:PB=QC;
(2)若PA=3,PB=4,∠APB=150°,求PC的長度.
【答案】(1)證明見解析;(2)5.
【解析】
(1)直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AQ,∠PAQ=60°,然后根據(jù)“SAS”證明△BAP≌△CAQ,結(jié)合全等三角形的性質(zhì)得出答案;
(2)由△APQ是等邊三角形可得AP=PQ=3,∠AQP=60°,由全等的性質(zhì)可得∠AQC =∠APB=150°,從而可求∠PQC=90°,然后根據(jù)勾股定理求PC的長即可.
直接利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可得出答案.
(1)證明:∵線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到AQ,
∴AP=AQ,∠PAQ=60°,
∴△APQ是等邊三角形,∠PAC+∠CAQ=60°,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠BAP+∠PAC=60°,AB=AC,
∴∠BAP=∠CAQ,
在△BAP和△CAQ中
,
∴△BAP≌△CAQ(SAS),
∴PB=QC;
(2)解:∵由(1)得△APQ是等邊三角形,
∴AP=PQ=3,∠AQP=60°,
∵∠APB=150°,
∴∠PQC=150°﹣60°=90°,
∵PB=QC,
∴QC=4,
∴△PQC是直角三角形,
∴PC===5.
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【題目】如圖所示,點C為線段OB的中點,D為線段OA上一點.連結(jié)AC、BD交于點P.
(問題引入)(1)如圖1,若點P為AC的中點,求的值.
溫馨提示:過點C作CE∥AO交BD于點E.
(探索研究)(2)如圖2,點D為OA上的任意一點(不與點A、O重合),求證:.
(問題解決)(3)如圖2,若AO=BO,AO⊥BO,,求tan∠BPC的值.
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【題目】如圖,在中,,,以為一邊向上作等邊三角形,點在垂直平分線上,且,連接,,.
(1)判斷的形狀,并說明理由;
(2)求證:;
(3)填空:
①若,相交于點,則的度數(shù)為______.
②在射線上有一動點,若為等腰三角形,則的度數(shù)為______.
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【題目】制作一種產(chǎn)品,需先將材料加熱達到60 ℃后,再進行操作.設(shè)該材料溫度為y(℃),從加熱開始計算的時間為x(min).據(jù)了解,當該材料加熱時,溫度y與時間x成一次函數(shù)關(guān)系;停止加熱進行操作時,溫度y與時間x成反比例關(guān)系(如圖).已知該材料在操作加熱前的溫度為15 ℃,加熱5分鐘后溫度達到60 ℃.
(1)分別求出將材料加熱和停止加熱進行操作時,y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)工藝要求,當材料的溫度低于15 ℃時,須停止操作,那么從開始加熱到停止操作,共經(jīng)歷了多少時間?
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【題目】定義:到三角形兩邊距離相等的點叫做三角形的準內(nèi)心.已知在中,,,,點是的準內(nèi)心(不包括頂點),且點在的某條邊上,則的長為______.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,有若千個整數(shù)點,其順序按圖中“”方向排列,如….根據(jù)這個規(guī)律探索可得,第個點的坐標為__________.
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【題目】為預防疾病,某校對教室進行“藥熏消毒”.已知藥物燃燒階段,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量(mg)與燃燒時間(分鐘)成正比例;燃燒后, 與成反比例(如圖所示).現(xiàn)測得藥物10分鐘燃完,此時教室內(nèi)每立方米空氣含藥量為8mg.據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)求藥物燃燒時與的函數(shù)關(guān)系式.(2)求藥物燃燒后與的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當每立方米空氣中含藥量低于1.6mg時,對人體方能無毒害作用,那么從消毒開始,經(jīng)多長時間學生才可以回教室?
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【題目】如圖,反比例函數(shù)y=﹣與一次函數(shù)y=﹣x+2的圖象交于A、B兩點.
(1)求A、B兩點的坐標;
(2)觀察圖象,直接寫出x為何值時,一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)?
(3)求△AOB的面積.
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【題目】如圖,點A在∠MON的邊ON上,AB⊥OM于B,AE=OB,DE⊥ON于E,AD=AO,DC⊥OM于C.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若DE=3,OE=9,求AB、AD的長.
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