Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連接DE并延長，與BC的延長線交于點F，
（1）求證：BD=BF；
（2）當BC=3，AD=2時，求⊙O的面積；
（3）在（2）的條件下，判斷△DBF是否為正三角形？并說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）連接OE，易證OE∥BC，根據(jù)等邊對等角即可證得∠ODE=∠F，則根據(jù)等角對等邊即可求解；
（2）易證△AOE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等即可證得圓的半徑，即可求解；
（3）在Rt△ABC中，求得cosB的值，即可確定∠B的度數(shù)，即可判斷．

解答：（1）證明：連OE，則OE⊥AC．又BC⊥AC．
∴OE∥BC
∴∠OED=∠F．
又OD=OE，∠OED=∠ODE，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF（3分）

（2）解：設⊙O的半徑為R，則BD=2R，OD=OE=R，由OE∥BC
有△AOE∽△ABC，
∴

OE

BC

=

AO

AB

，即

R

3

=

2+R

2+2R

，
解得：R₁=2，R 2=-

3

2

（舍去）（6分）
∴⊙O的面積=πR²=4π（7分）

（3）解：△BDF是正三角形．理由如下：
由（2）知BD=2R=4．
∴AB=6，
在Rt△ABC中，cosB=

BC

AB

=

3

6

=

1

2

（8分）
∴∠B=60°，又BD=BF
∴△BDF是正三角形．（10分）

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確利用△AOE∽△ABC求得圓的半徑是關(guān)鍵．