【題目】如圖①②,在平面直角坐標系中,一邊長為2的等邊三角板CDE恰好與坐標系中的OAB重合,現(xiàn)將三角板CDE繞邊AB的中點G(G點也是DE的中點),按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°C′ED的位置.

(1)求C′點的坐標;

(2)求經(jīng)過O、A、C′三點的拋物線的解析式;

(3)如圖③,G是以AB為直徑的圓,過B點作⊙G的切線與x軸相交于點F,求切線BF的解析式;

(4)在(3)的條件下,拋物線上是否存在一點M,使得BOFAOM相似?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1) C′(3,)(2) y=x2x (3) y=x+(4)存在

【解析】分析:1)作CHx如圖②,利用等邊三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC′=OA=2,OAB=BAC′=60°,則∠CAH=60°,然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計算出AH=1,CH=,從而得到C點的坐標;

2)設(shè)拋物線解析式為y=axx2),然后把C點坐標代入求出a即可

3)利用切線的性質(zhì)得ABBF則利用∠FAB=60°得到FA=2AB=4,所以F(﹣2,0),再判斷四邊形AOBC為菱形則可寫出B1,),然后利用待定系數(shù)法求直線BF的解析式;

4)先拋物線的對稱軸為直線x=1,拋物線的頂點坐標為(1,﹣),再判斷△OBF為頂角為120°的等腰三角形,討論當(dāng)AM=AO=2,M與點C重合,BOF與△AOM相似,易得此時M點的坐標當(dāng)OM=OA,M與點C關(guān)于直線x=1對稱BOF與△AOM相似,易得此時M點坐標當(dāng)MA=MO,M為拋物線的頂點時,OAM=120°,可判斷△BOF與△AOM相似從而得到此時M點的坐標.

詳解:(1)作CHx,如圖②

∵△CDE和△OAB為全等的等邊三角形,而三角板CDE繞邊AB的中點GG點也是DE的中點),按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△CED,AC′=OA=2OAB=BAC′=60°,∴∠CAH=60°,AH=AC′=1,CH=AH=,C′(3,);

2)設(shè)拋物線解析式為y=axx2),C′(3,)代入得a31=,解得a=,∴拋物線解析式為y=xx2),y=x2x;

3BF為⊙G的切線,ABBF,而∠FAB=60°,FA=2AB=4,F(﹣2,0).

OB=OA=AC′=BC′=2∴四邊形AOBC為菱形,B1,),設(shè)直線BF的解析式為y=kx+b,F(﹣20),B1,)代入得,解得,∴直線BF的解析式為y=x+;

4)存在.

拋物線的對稱軸為直線x=1,當(dāng)x=1,y=x2x=﹣,則拋物線的頂點坐標為(1,﹣).

OF=OB=2,∴△OBF為頂角為120°的等腰三角形當(dāng)AM=AO=2,M與點C重合BOF與△AOM相似,此時M3),當(dāng)OM=OAM與點C關(guān)于直線x=1對稱,BOF與△AOM相似此時M(﹣1,),當(dāng)MA=MO,M為拋物線的頂點時OAM=120°,BOF與△AOM相似此時M1,﹣).

綜上所述滿足條件的M點的坐標為(3,)或(﹣1,)或(1,﹣).

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甲種原料(單位:千克)

乙種原料(單位:千克)

生產(chǎn)成本(單位:元)

A產(chǎn)品

3

2

120

B產(chǎn)品

2.5

3.5

200

1)該工廠現(xiàn)有的原料能否保證生產(chǎn)需要?若能,有幾種生產(chǎn)方案?請你設(shè)計出來.

2)設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總成本為y元,其中生產(chǎn)A產(chǎn)品x件,試寫出yx之間的函數(shù)關(guān)系,并利用函數(shù)的性質(zhì)說明(1)中哪種生產(chǎn)方案總成本最低?最低生產(chǎn)總成本是多少?

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1)求每個甲種規(guī)格的漂流書屋和每個乙種規(guī)格的漂流書屋的價格分別是多少元?

2)如果學(xué)校計劃購進這兩種規(guī)格的漂流書屋共15個,并且購買這兩種規(guī)格的漂流書屋的總費用不超過3040元,那么該學(xué)校至多能購買多少個甲種規(guī)格的漂流書屋?

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(1)當(dāng)x>1時,請分別直接寫出甲、乙兩家快遞公司快遞該物品的費用y(元)與x(千克)之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)在(1)的條件下,小明選擇哪家快遞公司更省錢?

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②線段AG、CG、GH之間的數(shù)量關(guān)系是   

2)若GAC的延長線上(如圖2),那么線段AG、CG、BG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出結(jié)論并給出證明;

(應(yīng)用)(3)如圖3,G在正方形ABCD的對角線CA的延長線上,以BG為邊作正方形BGMN,若AG2,AD4,請直接寫出正方形BGMN的面積.

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FH=2BH;ACFHSACF=1;CE=AF;=FGDG,其中正確結(jié)論的個數(shù)為( 。

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

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