【題目】如圖1,已知拋物線與x軸從左至右交于A,B兩點,與y軸交于點c.
(1)若拋物線過點T(1,-),求拋物線的解析式;
(2)在第二象限內(nèi)的拋物線上是否存在點D,使得以A、B、D三點為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,求a的值;若不存在,請說明理由.
(3)如圖2,在(1)的條件下,點P的坐標為(-1,1),點Q(6,t)是拋物線上的點,在x軸上,從左至右有M、N兩點,且MN=2,問MN在x軸上移動到何處時,四邊形PQNM的周長最。空堉苯訉懗龇蠗l件的點M的坐標.
【答案】(1);(2);(3)M(-,0)
【解析】
(1)把T的坐標代入解析式,求出a的值,寫出解析式;
(2)根據(jù)點D在第二象限,∠DAB為鈍角,所以當A、B、D三點為頂點的三角形與△ABC相似時,只能∠DAB與∠ACB對應(yīng),所以分以下兩種情況討論:①如圖2,當△BDA∽△ABC時,∠BAC=∠ABD,
②當△DBA∽△ABC時,如圖3,∠ABC=∠ABD,分別列比例式,得方程求解;
(3)本題介紹兩種解法:
解法一:先求出Q的坐標為(6,10),通過軸對稱作出使四邊形PQNM的周長最小時的M、N的位置,因為PQ、NM為定值,要想周長最小,則需要PM+NQ最小,即想辦法做到一直線上,因此作P關(guān)于x軸的對稱點P′,找到P′G=2,且P′G∥x軸,利用平移構(gòu)建平行四邊形P′GNM,從而得到x軸上的M和N,求出M的坐標.
解法二:同理得Q的坐標,作P關(guān)于x軸的對稱點P′,過Q作QH∥x軸,交y軸于H,在QH上從Q起取一點Q',使QQ'=2,連接Q'P',交x軸于一點,則此點為M,根據(jù)P'Q'的解析式可得M的坐標.
(1)如圖1,把T(1,﹣)代入拋物線y=(x﹣2)(x+a)得:
﹣=(1﹣2)(1+a),
解得:a=4,
∴拋物線的解析式為:y=x2+x﹣2;
(2)當x=0時,y=×(﹣2)×a=﹣2,
∴C(0,﹣2),
當y=0時,(x﹣2)(x+a)=0,
x1=2,x2=﹣a,
∴A(﹣a,0)、B(2,0),
如圖2,過D作DE⊥x軸于E,
設(shè)D(m,n),
∵點D在第二象限,∠DAB為鈍角,
∴分兩種情況:
①如圖2,當△BDA∽△ABC時,∠BAC=∠ABD,
∴tan∠BAC=tan∠ABD,即,
∴,
n=,
則,
解得:m=﹣2﹣a或2,
∴E(﹣2﹣a,0),
由勾股定理得:AC=,
∵,
∴,
BD=,
∵△BDA∽△ABC,
∴,
∴AB2=ACBD,
即(a+2)2=,
解得:0=16,此方程無解;
②當△DBA∽△ABC時,如圖3,∠ABC=∠ABD,
∵B(2,0),C(0,﹣2),
∴OB=OC=2,
∴△OBC是等腰直角三角形,
有BC=2,
∴∠OCB=∠OBC=45°,
∴∠ABC=∠ABD=45°,
∴DE=BE,
n=﹣m+2,
∴BD=,
∵△DBA∽△ABC,
∴,
∴AB2=BDBC,
∴(a+2)2=2=4n,
則,
解得:,
則a=2+2;
(3)解法一:當x=6時,y=(6﹣2)(6+4)=10,
∴Q(6,10),
如圖4,作P關(guān)于x軸的對稱點P′,過P′作P′G∥x軸,且P′G=2,連接GQ交x軸于N,過P′作P′M∥GN,交x軸于M,
此時,QG就是MP+NQ的最小值,由于PQ、NM為定值,所以此時,四邊形PMNQ的周長最小,
∵P(﹣1,1),
∴P′(﹣1,﹣1),
∵P′G∥MN,P′M∥GN,
∴四邊形P′GNM是平行四邊形,
∴MN=P′G=2,NG=P′M=PM,
∴G(1,﹣1),
設(shè)GQ的解析式為:y=kx+b,
把G(1,﹣1)和Q(6,10)代入得:,
解得:,
∴GQ的解析式為:y=x﹣,
當y=0時,x=,
∴N(,0),
∵MN=2,
∴M(﹣,0).
解法二:如圖5,同理得Q(6,10),
P(﹣1,1)關(guān)于x軸的對稱點P′(﹣1,﹣1),過Q作QH∥x軸,交y軸于H,在QH上從Q起取一點Q',使QQ'=2,連接Q'P',交x軸于一點,則此點為M,此時,四邊形PMNQ的周長最小,
∵Q'(4,10),P′(﹣1,﹣1),
易得P'Q'的解析式為:y=x+,
當y=0時, x+=0,x=﹣,
∴M(﹣,0).
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【題目】一農(nóng)民帶上若干千克自產(chǎn)的土豆進城出售,為了方便,他帶了一些零錢備用,按市場價售出一些后,又降價出售,售出的土豆千克數(shù)與他手中持有的錢數(shù)(含備用零錢)的關(guān)系,如圖所示,結(jié)合圖象回答下列問題.
(1)農(nóng)民自帶的零錢是多少?
(2)試求降價前y與x之間的關(guān)系式
(3)由表達式你能求出降價前每千克的土豆價格是多少?
(4)降價后他按每千克0.4元將剩余土豆售完,這時他手中的錢(含備用零錢)是26元,試問他一共帶了多少千克土豆?
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【題目】如圖,將一張平行四邊形紙片ABCD沿著線段EF折疊(點E、F分別在AB邊和BC邊上),使得點C落在點A處,點D落在點G出。
(1)如果連接EC,那么線段GE與EC在同一條直線上嗎?為什么?
(2)試判斷四邊形AFCE的形狀,并說明你是怎樣判斷的?
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【題目】(已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①abc>0;②2a+b>0;③b2﹣4ac>0;④a﹣b+c>0,其中正確的個數(shù)是( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】拋物線C1:y1=mx2﹣4mx+2n﹣1與平行于x軸的直線交于A、B兩點,且A點坐標為(﹣1,2),請結(jié)合圖象分析以下結(jié)論:①對稱軸為直線x=2;②拋物線與y軸交點坐標為(0,﹣1);③m>;④若拋物線C2:y2=ax2(a≠0)與線段AB恰有一個公共點,則a的取值范圍是≤a<2;⑤不等式mx2﹣4mx+2n>0的解作為函數(shù)C1的自變量的取值時,對應(yīng)的函數(shù)值均為正數(shù),其中正確結(jié)論的個數(shù)有( )
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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【題目】閱讀材料:(一)如果我們能找到兩個實數(shù)x、y使且,這樣,那么我們就稱為“和諧二次根式”,則上述過程就稱之為化簡“和諧二次根式”.
例如:.
(二)在進行二次根式的化簡與運算時,我們有時還會碰上如一樣的式子,其實我們還可以將其進一步化簡:,那么我們稱這個過程為分式的分母有理化.
根據(jù)閱讀材料解決下列問題:
(1)化簡“和諧二次根式”:①___________,②___________;
(2)已知,,求的值;
(3)設(shè)的小數(shù)部分為,求證:.
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【題目】已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點.
(1)若函數(shù)圖象經(jīng)過原點,求k,b的值
(2)若點是該函數(shù)圖象上的點,當時,總有,且圖象不經(jīng)過第三象限,求k的取值范圍.
(3)點在函數(shù)圖象上,若,求n的取值范圍.
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【題目】已知:在矩形中,,,四邊形的三個頂點、、分別在矩形邊、、上,.
如圖,當四邊形為正方形時,求的面積;
如圖,當四邊形為菱形時,設(shè),的面積為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出函數(shù)的定義域.
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