Question

如圖①，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c與x軸相交于O、A兩點(diǎn)直線(xiàn)y=-x+3與y軸交于B點(diǎn)，與該拋物線(xiàn)交于A，D兩點(diǎn)，已知點(diǎn)D橫坐標(biāo)為-1．（1）求這條拋物線(xiàn)的解析式；
（2）如圖①，在線(xiàn)段OA上有一動(dòng)點(diǎn)H（不與O、A重合），過(guò)H作x軸的垂線(xiàn)分別交AB于P點(diǎn)，交拋物線(xiàn)于Q點(diǎn)，若x軸把△POQ分成兩部分的面積之比為1：2，請(qǐng)求出H點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖②，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）y=-x+3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴B（0，3），
把x=-1代入y=-x+3得：y=4，
∴D（-1，4），
當(dāng)y=0時(shí)，0=-x+3，
∴x=3，
∴A（3，0），
∵拋物線(xiàn)過(guò)A（3，0），O（0，0），
把D（-1，4）代入y=ax²+bx+c=a（x-0）（x-3）得：4=a（-1-0）（-1-3），
∴a=1，
∴y=（x-0）（x-3），
即拋物線(xiàn)的解析式是y=x²-3x．

（2）設(shè)H（x，0），
則P（x，-x+3），Q（x，x²-3x），
∴PH=-x+3，QH=3x-x²，
∵x軸把△POQ分成兩部分的面積之比為1：2，
∴

PH

QH

=

1

2

或

PH

QH

=2，
即

-x+3

3x-x2

=

1

2

或

-x+3

3x-x2

=2，
解得：x₁=2，x₂=3（舍去），x₃=3（舍去），x₄=

1

2

，
∴H點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）或（

1

2

，0）．

（3）分為三種情況：
①若∠BAC=90°，設(shè)C（x，x²-3x），
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∴∠OAC=45°，
∴tan∠OAC=1，
∴

x2-3x

3-x

=1，
解得：x₁=1，x₂=3（舍去），
∴C（1，-2）；
②若∠ABC=90°時(shí)，
∵∠OBA=45°，
∴∠OBC=45°，
設(shè)直線(xiàn)BC交于x軸于E，其解析式是y=kx+3，
∴OE=OB=3，
∴E（-3，0），
代入得：0=-3k+3，
∴k=1，
∴y=x+3，
解方程組

y=x+3 y=x2-3x

得：

x1=2+ 7 y1=5+ 7

，

x2=2- 7 y2=5- 7

，
∴C（2+

7

，5-

7

）或（2-

7

，5-

7

）；
③若∠ACB=90°時(shí)，設(shè)C（n，k），
AC²+BC²=AB²，
即（n-3）²+k²+n²+（k-3）²=18，
n²-3n+k²-3k=0，
∵k=n²-3n，
代入求出k₁=0，k₂=2，
∴n²-3n=0，n²-3n=2，
解得：n₁=0，n₂=3（舍去），n₃=

3+ 17

2

，n₄=

3- 17

2

，
∴C（0，0）或（

3+ 17

2

，2）或（

3- 17

2

，2），
綜合上述：存在，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，-2）或（2+

7

，5+

7

）或（2-

7

，5-

7

）或（0，0）或（

3+ 17

2

，2）或（

3- 17

2

，2）．