Question

【題目】已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊BC在x軸上，直角頂點A在y軸的正半軸上，A（0，2），B（﹣1，0）．

（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）求過A、B、C三點的拋物線的解析式和對稱軸；
（3）設(shè)點P（m，n）是拋物線在第一象限部分上的點，△PAC的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求使S最大時點P的坐標(biāo)；
（4）在拋物線對稱軸上，是否存在這樣的點M，使得△MPC（P為上述（3）問中使S最大時的點）為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△ABC中，AO⊥BC，OA=2，OB=1，

則：OC= =4，

∴C（4，0）．

（2）

解：設(shè)拋物線的解析式：y=a（x+1）（x﹣4），代入點A的坐標(biāo)，得：

a（0+1）（0﹣4）=2，a=﹣

∴拋物線的解析式：y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+2，對稱軸是：直線x=

（3）

解：設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+2，代入點C（4，0），得：

4k+2=0，k=﹣

∴直線AC：y=﹣ x+2；

過點P作PQ⊥x軸于H，交直線AC于Q，設(shè)P（m，﹣ m2+ m+2）、

∴S梯形AOHP= [2+（﹣ m2+ m+2）]m=﹣ m3+ m2+2m，

S△PHC= （4﹣m）（﹣ m2+ m+2）= m3﹣ m2+2m+4，

S△AOC= ×4×2=4，

S=S梯形AOHP+S△PHC﹣S△AOC=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，

∴當(dāng)m=2，即 P（2，3）時，S的值最大

（4）

解：依題意，設(shè)M（ ，b），已知P（2，3）、C（4，0），則有：

MP2=b2﹣6b+ 、MC2=b2+ 、PC2=13；

當(dāng)MP=MC時，b2﹣6b+ =b2+ ，解得 b= ；

當(dāng)MP=PC時，b2﹣6b+ =13，解得 b= ；

當(dāng)MC=PC時，b2+ =13，解得 b=± ；

綜上，存在符合條件的M點，且坐標(biāo)為 （ ， ）、（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）、（ ，﹣ ）．

【解析】（1）Rt△ABC中，AO⊥BC，且知道了OA、OB的長，由射影定理能求出OC的長，也就得到了點C的坐標(biāo)．（2）利用待定系數(shù)法即可確定拋物線的解析式，由x=﹣ 能求出拋物線的對稱軸．（3）首先求出直線AC的解析式，過點P作x軸的垂線，交直線AC于Q，在知道拋物線和直線AC解析式的情況下，用m表示出點P、Q的坐標(biāo)，兩點縱坐標(biāo)差的絕對值即為線段PQ的長，而S= ACPQ，據(jù)此求得關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可確定S最大時點P的坐標(biāo)．（4）首先設(shè)出點M的坐標(biāo)，然后列出△MPC的三邊長，若該三角形是等腰三角形，根據(jù)①MP=MC、②MP=PC、③MC=PC列出等式求解即可．