Question

【題目】已知：△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠B=90°，AB=BC=1．

（1）要在這張紙板上剪出一個(gè)正方形，使這個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在△ABC的邊上．小林設(shè)計(jì)出了一種剪法，如圖1所示．請(qǐng)你再設(shè)計(jì)出一種不同于圖1的剪法，并在圖2中畫(huà)出來(lái)．

（2）若按照小林設(shè)計(jì)的圖1所示的剪法來(lái)進(jìn)行裁剪，記圖1為第一次裁剪，得到1個(gè)正方形，將它的面積記為，則=___________；在余下的2個(gè)三角形中還按照小林設(shè)計(jì)的剪法進(jìn)行第二次裁剪（如圖3），得到2個(gè)新的正方形，將此次所得2個(gè)正方形的面積的和記為，則=___________；在余下的4個(gè)三角形中再按照小林設(shè)計(jì)的的剪法進(jìn)行第三次裁剪（如圖4），得到4個(gè)新的正方形，將此次所得4個(gè)正方形的面積的和記為；按照同樣的方法繼續(xù)操作下去……，第次裁剪得到_________個(gè)新的正方形，它們的面積的和=______________．

Answer 1

【答案】（1）畫(huà)圖見(jiàn)解析；（2）（2），，，．

【解析】（1）利用斜邊長(zhǎng)的，向斜邊作垂線得出正方形即可；

（2）根據(jù)題意，可求得S1，S2，S3，同理可得規(guī)律：Sn即是第n次剪取后面積和，根據(jù)此規(guī)律求解即可答案．

（1）如圖所示；

（2）∵四邊形DBFE是正方形，

∴DE＝EF＝BF＝DB，∠EFC＝∠ADE＝90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A＝∠C＝45°，

∴AD＝DE＝EF＝CF＝BF＝BD，

∵AB＝BC＝1，

∴DE＝EF＝，

∴S正方形DBFE＝S1＝×＝；

同理：S2即是第二次剪取后的面積和，

Sn即是第n次剪取后的面積和，

∴第一次剪取后的面積和為：S1＝＝，

第二次剪取后的面積和為：S2＝××2＝＝，

第三次剪取后剩余三角形面積和為：S3＝××4＝＝，

…

第n次剪取后面積和為：Sn＝××2n1＝．

故答案為：，，2n1，．