Question

【題目】在等邊三角形ABC中，E為直線AB上一點(diǎn)，連接EC．ED與直線BC交于點(diǎn)D，ED＝EC．

（1）如圖1，AB＝1，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，求BD的長；

（2）點(diǎn)E是AB邊上任意一點(diǎn)（不與AB邊的中點(diǎn)和端點(diǎn)重合），依題意，將圖2補(bǔ)全，判斷AE與BD間的數(shù)量關(guān)系并證明；

（3）點(diǎn)E不在線段AB上，請?jiān)趫D3中畫出符合條件的一個(gè)圖形．

Answer 1

【答案】（1）BD＝；（2）圖2補(bǔ)全見解析，DB＝AE成立；理由見解析；（3）如圖3所示．見解析.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BCE＝∠ACB＝30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠D＝∠BCE＝30°，于是得到結(jié)論；

（2）過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于F，先證明△AEF是等邊三角形，得出AE＝EF，再證明△DBE≌△EFC，得出DB＝EF，即可證出AE＝DB；

（3）根據(jù)題意作出圖形即可．

（1）∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

∴∠BCE＝∠ACB＝30°，

∵ED＝EC，

∴∠D＝∠BCE＝30°，

∵∠ABC＝∠D+∠DEB＝60°，

∴∠DEB＝∠D＝30°，

∴BD＝BE＝AB＝；

（2）DB＝AE成立；理由如下：

如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于F，則∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠CEF＝∠ECD，

∵∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴∠A＝∠AEF＝∠AFE＝60°，

∠DBE＝120°，

∴△AEF是等邊三角形，∴AE＝EF，∠EFC＝120°，

∴BE＝CF，∠DBE＝∠EFC，

∵ED＝EC，

∴∠D＝∠ECD，

∴∠D＝∠CEF，

在△DBE和△EFC中，

，

∴△DBE≌△EFC（AAS），

∴DB＝EF，

∴AE＝DB；

（3）如圖3所示．