已知:正方形ABCD邊長為4cm,E,F(xiàn)分別為CD,BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從B?A以2cm/精英家教網(wǎng)s的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在線段FC上從F?C以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)G在PC上,且∠EGC=∠EQC,連接PD.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)求證:△CQE∽△APD;
(2)問:在運(yùn)動(dòng)過程中CG•CP的值是否發(fā)生改變?如果不變,請(qǐng)求這個(gè)值;若改變,請(qǐng)說明理由;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△CGE為等腰三角形并求出此時(shí)△CGE的面積.
分析:(1)首先求出QC=2-t,AP=4-2t,求出線段比然后可證明△CQE∽△APD.
(2)依題意證得△CQE∽△APD后推出∠EGC=∠PDC,然后再證明△CGE∽△CDP利用線段比可證得CG•CP=CD•CE.
(3)由(2)得△CGE∽△CDP,要分三種情況討論t的取值然后才能求出△CGE的面積.
解答:(1)證明:∵FQ=t,BP=2t,
∴QC=2-t,AP=4-2t,
QC
AP
=
CE
AD
=
1
2

∵∠QCE=∠A=90°,
∴△CQE∽△APD.(2分)

(2)解:CG•CP的值是一個(gè)定值.(3分)
∵△CQE∽△APD,
∴∠CQE=∠APD,
∵正方形ABCD中AB∥CD,
∴∠APD=∠PDC,
∵∠EGC=∠EQC,
∴∠EGC=∠PDC,
∵∠PCD=∠PCD,
∴△CGE∽△CDP,
CG
CD
=
CE
CP
,
∴CG•CP=CD•CE=4×2=8.(5分)

(3)解:∵△CGE∽△CDP,
∴△CGE和△CDP的形狀相同.
①t=0時(shí)△CDP為等腰三角形,則△CGE也為等腰三角形.(6分)
S△CGE=2.(7分)
②t=1時(shí)△CDP為等腰三角形,則△CGE也為等腰三角形.(8分)
S△CGE
S△CDP
=(
CE
CP
)2
,
S△CGE
8
=(
2
2
5
)2
,
S△CGE=
8
5
.(9分)
③t=2的時(shí)候∠EGC不存在.(10分)
綜上所述t=0時(shí),△CGE為了等腰三角形面積為2,
t=1時(shí),△CGE為等腰三角形面積為
8
5
.(11分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了正方形的性質(zhì),相似三角形的判定,線段的比等知識(shí),難度中上.
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6
.下列結(jié)論:
①△APD≌△AEB﹔②點(diǎn)B到直線AE的距離為
3
﹔③EB⊥ED﹔④S△APD+S△APB=0.5+
2

其中正確結(jié)論的序號(hào)是( 。

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