Question

【題目】如圖①，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），點(diǎn)E是AD邊上一定點(diǎn)，且AE＝1．

（1）當(dāng)m＝3時(shí)，AB上存在點(diǎn)F，使△AEF與△BCF相似，求AF的長(zhǎng)度．

（2）如圖②，當(dāng)m＝3.5時(shí)．用直尺和圓規(guī)在AB上作出所有使△AEF與△BCF相似的點(diǎn)F．（不寫作法，保留作圖痕跡）

（3）對(duì)于每一個(gè)確定的m的值，AB上存在幾個(gè)點(diǎn)F，使得△AEF與△BCF相似？

Answer 1

【答案】（1）AF＝1或3；（2）見解析；（3）當(dāng)1＜m＜4且m≠3時(shí)，有3個(gè)；

當(dāng)m＝3時(shí)，有2個(gè)；當(dāng)m＝4時(shí)，有2個(gè)； 當(dāng)m＞4時(shí)，有1個(gè)．

【解析】試題分析：

（1）由題意可知，∠A=∠B=90°，由此可知要使△AEF與△BCF相似，存在兩種情況：①當(dāng)∠AEF＝∠BFC時(shí)，若，則兩三角形相似；②當(dāng)∠AEF＝∠BCF時(shí)， 若，則兩三角形相似；由這兩種情況分別根據(jù)已知條件進(jìn)行計(jì)算即可得到相應(yīng)的AF的值；

（2）如下圖所示：①延長(zhǎng)DA到E′，使AE′=AE，連接CE′交AB于點(diǎn)F1；②連接CE，以CE為直徑作圓，分別交AB于點(diǎn)F2、F3；則F1、F2、F3為所求點(diǎn)；

（3）結(jié)合（1）（2）可知，當(dāng)m=3時(shí)，符合條件的點(diǎn)F有2個(gè)，當(dāng)m=4時(shí)，符合條件的點(diǎn)F也有2個(gè)，而當(dāng)1<m<4，且 m≠3時(shí)，符合條件的點(diǎn)F有3個(gè)；而當(dāng)m>4時(shí)，以CE為直徑的圓和AB相離，此時(shí)符合條件的點(diǎn)F只有1個(gè).

試題解析：

（1）①當(dāng)∠AEF＝∠BFC時(shí)，

要使△AEF∽△BFC，需，即，

解得AF＝1或3；

②當(dāng)∠AEF＝∠BCF時(shí)，

要使△AEF∽△BCF，需＝，即，

解得AF＝1；

綜上所述AF＝1或3

（2）如下圖所示，圖中F1、F2、F3為所求點(diǎn)；

（提示：延長(zhǎng)DA，作點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E′，連結(jié)CE′，交AB于點(diǎn)F1；連結(jié)CE，以CE為直徑作圓交AB于點(diǎn)F2、F3）；

（3）如（2）中所作圖形，

當(dāng)m=4時(shí)，由已知條件可得DE=3，則CE=5，即圖中圓的直徑為5，由梯形中位線定理可得此時(shí)圖中所作圓的圓心到AB的距離=2.5=所作圓的半徑，F(xiàn)2和F3重合，即當(dāng)m=4時(shí)，符合條件的F有2個(gè)；

當(dāng)m>4時(shí)，圖中所作圓和AB相離，此時(shí)F2和F3不存在了，即此時(shí)符合條件的F只有F11個(gè)；

而當(dāng)1＜m＜4且m≠3時(shí)，由所作圖形可知，符合條件的F有3個(gè)；

綜上所述：可得：①當(dāng)1＜m＜4且m≠3時(shí)，符合條件的F有3個(gè)； ②當(dāng)m＝3時(shí)，符合條件的F有2個(gè)；③當(dāng)m＝4時(shí)，符合條件的F有2個(gè)；④當(dāng)m＞4時(shí)，符合條件的F有1個(gè).