【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線l:yx+3交y軸于點(diǎn)A,x軸于點(diǎn)B,∠BAO的角平分線AC交x軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作直線AB的垂線,交y軸于點(diǎn)D.
(1)求直線CD的解析式;
(2)如圖2,若點(diǎn)M為直線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作MN∥y軸,交直線AB與點(diǎn)N,當(dāng)四邊形AMND為菱形時(shí),求△ACM的面積;
(3)如圖3,點(diǎn)P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接PA、PD,將△ADP沿DP翻折得到△A1DP,當(dāng)以點(diǎn)A、A1、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)yx﹣3;(2);(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0),(﹣6﹣3),(3,0),(6﹣3,0).
【解析】
(1)分別令x、y為0,建立方程可求得A、B的坐標(biāo),并由tan∠BAO=,求得∠BAO=60°,由AC平分∠BAO求得C的坐標(biāo),再應(yīng)用兩條直線垂直時(shí),k1k2=-1,就可以求得CD的解析式;
(2)根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直平分這一性質(zhì),可以確定點(diǎn)M的坐標(biāo),易求出△ACM的面積;
(3)△AA1B為等腰三角形,分三種情況:①AA1=AB,證明△ADA1是等邊三角形解決問題.②A1B=AB.過A1作A1H⊥y軸于H,易證△A1AH≌△APO(AAS),利用全等三角形性質(zhì)解決問題即可.③AA1=A1B.若點(diǎn)P在x負(fù)半軸上,不存在A1B=AB,若點(diǎn)P在x正半軸上,點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),A1B=AB.
(1)如圖1,
在yx+3中,令x=0,得y=3,
∴A(0,3),
令y=0得0x+3,解得x=3,
∴B(3,0),
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,
∴∠BAO=60°,
∵AC平分∠BAO,
∴∠CAO∠BAO=30°
∴OC
∴C(,0)
∵CD⊥AB
∴∠ODC=90°﹣∠BAO=90°﹣60°=30°
在Rt△COD中,∠COD=90°,
∴OD=3
∴D(0,﹣3)
設(shè)直線CD解析式為y=kx+b,將C(,0),D(0,﹣3)代入得
,解得
∴直線CD的解析式為yx﹣3.
(2)如圖2,
令CD與AB交于點(diǎn)E,∵四邊形AMND是菱形,
∴AE=NE DE=ME
解方程組得,
∴E(,),
設(shè)M(t,t﹣3),則,,∴t=3
∴M(,6),
在Rt△ADE中,cos∠ODC,sin∠ODC
∴DE=AD×cos∠ODC=6cos30°=3,AE=ADsin∠ODC=6sin30°=3
∴
在Rt△ODC中,∠ODC=30°,∴CD=2OC=2
∴CE=DE﹣CD=32
∴CM=CE+ME4,
∴S△ACM.
(3)如圖3,
△AA1B為等腰三角形,分三種情況:
①AA1=AB,
由翻折知:A1D=AD=6,A1P=AP,∠ADP=∠A1DP,
∵∠ABO=90°﹣∠BAO=90°﹣60°=30°,
∴AB=2AO=2×3=6
∴AA1=A1D=AD
∴△AA1D是等邊三角形
∴∠A1DA=60°,
∴∠ADP=30°,在Rt△PDO中,tan∠ADP
∴OP=OD×tan∠ADP=3tan30°
∴
②AA1=A1B
∴A1在線段AB垂直平分線,
易證直線CD垂直平分線段AB
∴點(diǎn)A1落在直線CD上
由翻折知:A1D=AD=6,A1P=AP,∠ADP=∠A1DP,
∵∠ADC=30°,
∴∠ADP=∠A1DP=75°,∠DPO=90°﹣∠ADP=90°﹣75°=15°,
∵OA=OD,PO⊥AD
∴∠APO=∠DPO=15°,
∴∠APD=∠A1PD=30°
∴∠A1PA=60°
∴△A1PA是等邊三角形
∴AP=A1A
過A1作A1H⊥y軸于H,易證△A1AH≌△APO(AAS)
A1H=AO=3,AH=OP
點(diǎn)A1B的橫坐標(biāo)為﹣3,將x=﹣3代入直線CD的解析式為yx﹣3中,得y=﹣33,
∴OH=33,OP=AH=AO+OH=3+33=6+3,
∴P(﹣6﹣3,0)
③A1B=AB
若點(diǎn)P在x負(fù)半軸上,不存在A1B=AB,
若點(diǎn)P在x正半軸上,點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),A1B=AB
∴P(3,0),
④如圖5中,當(dāng)AA′=A′B時(shí),易證DP平分∠ODC,可得P(6﹣3,0)
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,0),(﹣6﹣3),(3,0),(6﹣3,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C.拋物線經(jīng)過A,C兩點(diǎn),且與x軸交于另一點(diǎn)B(點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)).
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)M是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M的直線EF平行y軸交x軸于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)E.求ME長的最大值;
(3)試探究當(dāng)ME取最大值時(shí),在拋物線上、x軸下方是否存在點(diǎn)P,使以M,F(xiàn),B,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,試說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某水果批發(fā)市場(chǎng)規(guī)定,批發(fā)蘋果不少于100千克時(shí),批發(fā)價(jià)為每千克2.5元.小王攜帶現(xiàn)金3 000元到該市場(chǎng)采購蘋果,并以批發(fā)價(jià)買進(jìn).如果購進(jìn)的蘋果是x千克,小王付款后剩余現(xiàn)金y元.
(1)試寫出x與y之間的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量的取值范圍;
(2)畫出函數(shù)圖象,指出圖象形狀和終點(diǎn)坐標(biāo);
(3)若小王以每千克3元的價(jià)格將蘋果賣出,賣出x千克后可獲利潤多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是最小的正整數(shù),且滿足,請(qǐng)回答:
(1)請(qǐng)直接寫出的值:=______,=______,=______;
(2)在(1)的條件下,若點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的數(shù)為,點(diǎn)P在0到2之間運(yùn)動(dòng),即時(shí),化簡:;
(3)在(1)(2)的條件下,,b,c分別對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A、B、C開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長度和5個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng),假設(shè)秒鐘過后,若點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC,點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB.請(qǐng)問:BC﹣AB的值是否隨著時(shí)間的變化而改變?若變化,請(qǐng)說明理由;若不變,請(qǐng)求其值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某品牌飲水機(jī)廠生產(chǎn)一種飲水機(jī)和飲水機(jī)桶,飲水機(jī)每臺(tái)定價(jià)350元,飲水機(jī)桶每只定價(jià)50元,廠方開展促銷活動(dòng)期間,可以同時(shí)向客戶提供兩種優(yōu)惠方案:
方案一:買一臺(tái)飲水機(jī)送一只飲水機(jī)桶;
方案二:飲水機(jī)和飲水機(jī)桶都按定價(jià)的90%付款.
現(xiàn)某客戶到該飲水機(jī)廠購買飲水機(jī)30臺(tái),飲水機(jī)桶只(超過30).
(1)若該客戶按方案一購買,求客戶需付款(用含的式子表示);若該客戶按方案二購買,求客戶需付款(用含的式子表示);
(2)若時(shí),通過計(jì)算說明此時(shí)按哪種方案購買較為合算?
(3)當(dāng)時(shí),你能給出一種更為省錢的購買方案嗎?試寫出你的購買方法,并計(jì)算出所需的錢數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,過點(diǎn)的直線,為邊上一點(diǎn),過點(diǎn)作,交直線于點(diǎn),垂足為,連接,.
(1)求證:;
(2)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),四邊形是什么特殊四邊形?請(qǐng)說明你的理由;
(3)若為的中點(diǎn),則當(dāng)的大小滿足什么條件時(shí),四邊形是正方形?請(qǐng)說明你的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形空地ABCD,現(xiàn)計(jì)劃在空地上種植草皮,經(jīng)測(cè)量,∠B=90°,AB=20m,BC=15m,CD=7m,AD=24m.若每平方米草皮需要200元,則種植這片草皮需要多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四張背面完全相同的紙牌A、B、C、D,其中正面分別畫有四個(gè)不同的幾何圖形(如圖),小華將這4張紙牌背面朝上洗勻后摸出一張,放回洗勻后再摸一張.
(1)用樹狀圖(或列表法)表示兩次摸牌所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(紙牌可用A、B、C、D表示);
(2)求摸出兩張紙牌牌面上所畫幾何圖形,既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為傳播“綠色出行,低碳生活”的理念,小賈同學(xué)的爸爸從家里出發(fā),騎自行車去圖書館看書,圖1表達(dá)的是小賈的爸爸行駛的路程(米)與行駛時(shí)間(分鐘)的變化關(guān)系
(1)求線段BC所表達(dá)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果小賈與爸爸同時(shí)從家里出發(fā),小賈始終以速度120米/分鐘行駛,當(dāng)小賈與爸爸相距100米是,求小賈的行駛時(shí)間;
(3)如果小賈的行駛速度是米/分,且在途中與爸爸恰好相遇兩次(不包括家、圖書館兩地),請(qǐng)直接寫出的取值范圍。
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