【題目】如圖,A是以BC為直徑的⊙O上一點(diǎn),ADBC于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作⊙O的切線,與CA的延長線相交于點(diǎn)EGAD的中點(diǎn),連結(jié)CG并延長與BE相交于點(diǎn)F,延長AFCB的延長線相交于點(diǎn)P

(1)求證:BF=EF

(2)求證:PA是⊙O的切線;

(3)若FG=BF,且⊙O的半徑長為3,求BD的長度.

【答案】(1)證明見解析;(2) 證明見解析;(3)2

【解析】分析:(1)利用平行線截三角形得相似三角形,BFC∽△DGCFEC∽△GAC得到對應(yīng)線段成比例,再結(jié)合已知條件可得BF=EF

(2)利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和等邊對等角,得到∠FAO=EBO,結(jié)合BE是圓的切線,得到PAOA,從而得到PA是圓O的切線;

(3)點(diǎn)FFHAD于點(diǎn)H,根據(jù)前兩問的結(jié)論,利用三角形的相似性質(zhì)即可以求出BD的長度.

詳解:證明:(1)BC是圓O的直徑,BE是圓O的切線,

EBBC.

又∵ADBC,

ADBE.

BFC∽△DGC,FEC∽△GAC,

=,=,

=,

GAD的中點(diǎn),

DG=AG,

BF=EF;

(2)連接AOAB.

BC是圓O的直徑,

∴∠BAC=90°,

(1)得:在RtBAE,F是斜邊BE的中點(diǎn),

AF=FB=EF,可得∠FBA=FAB,

又∵OA=OB

∴∠ABO=BAO,

BE是圓O的切線,

∴∠EBO=90°,

∴∠FBA+ABO=90°,

∴∠FAB+BAO=90°,

即∠FAO=90°,

PAOA,

PA是圓O的切線;

(3)過點(diǎn)FFHAD于點(diǎn)H

BDAD,FHAD,

FHBC

(2),知∠FBA=BAF

BF=AF.

BF=FG,

AF=FG

AFG是等腰三角形.

FHAD,

AH=GH,

DG=AG,

DG=2HG.

,

FHBD,BFAD,FBD=90°,

∴四邊形BDHF是矩形,

BD=FH

FHBC

HFG∽△DCG,

,

,

O的半徑長為3,

BC=6,

BD==2.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知∠AOB90°,∠BOC30°,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC

1)求∠MON的度數(shù);

2)如果∠AOBα,其他條件不變,求∠MON的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在三角形中,.將三角形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)落在直線上的點(diǎn),點(diǎn)落在點(diǎn)

1)畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形

2)求線段在旋轉(zhuǎn)的過程中所掃過的面積(保留).

3)如果在三角形中,(其中).其他條件不變,請你用含有的代數(shù)式,直接寫出線段旋轉(zhuǎn)的過程中所掃過的面積(保留).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,四邊形ABCD是正方形,GCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)GC、D不重合),以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG,連接BG,DE.

(1)①猜想圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系,不必證明;

②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意角度α,得到如圖2情形.請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并證明你的判斷.

(2)將原題中正方形改為矩形(如圖3、4),且AB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb (a≠b,k>0),第(1)題①中得到的結(jié)論哪些成立,哪些不成立?若成立,以圖4為例簡要說明理由.

(3)在第(2)題圖4中,連接DG、BE,且a=3,b=2,k=,求BE2+DG2的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,∠1=∠2,∠A=∠F,求證:∠C=∠D.請閱讀下面的解答過程,并填空(理由或數(shù)學(xué)式)

證明:∵∠1=∠2(已知)∠1=∠3_______

∴∠2=∠3(等量代換)

BD____________

∴∠4____________

又∵∠A=∠F(已知)

AC____________

∴∠4____________

∴∠C=∠D(等量代換)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校八年級(1)班積極響應(yīng)校團(tuán)委的號召,每位同學(xué)都向“希望工程”捐獻(xiàn)圖書,全班40名同學(xué)共捐圖書400.特別值得一提的是李保、王剛兩位同學(xué)在父母的支持下各捐獻(xiàn)了90冊圖書.班長統(tǒng)計(jì)了全班捐書情況如下表(被粗心的馬小虎用墨水污染了一部分):

冊數(shù)

4

5

6

7

8

90

人數(shù)

6

8

15

2

1)分別求出該班級捐獻(xiàn)7冊圖書和8冊圖書的人數(shù);

2)請算出捐書冊數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù),并判斷其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量不能反映該班同學(xué)捐書冊數(shù)的一般狀況,說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】將長方形紙片向右上方翻折,使得點(diǎn)和點(diǎn)重合,畫出折痕以及翻折后的圖形,折痕與長方形的邊、分別交于點(diǎn),判斷重疊部分圖形的形狀.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲、乙兩人在筆直的湖邊公路上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速步行2400米,先到終點(diǎn)的人原地休息.已知甲先出發(fā)4分鐘.在整個(gè)步行過程中,甲、乙兩人的距離(米)與甲出發(fā)的時(shí)間(分)之間的關(guān)系如圖所示,下列結(jié)論:①甲步行的速度為60米/分;②乙用16分鐘追上甲;③乙走完全程用了30分鐘;④乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)甲離終點(diǎn)還有360米.其中正確的結(jié)論有( )

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,A、B、C分別表示三個(gè)村莊,AB=1000米,BC=600米,AC=800米,在社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)中,為了豐富群眾生活,擬建一個(gè)文化活動(dòng)中心,要求這三個(gè)村莊到活動(dòng)中心的距離相等,則活動(dòng)中心P的位置應(yīng)在(

AAB中點(diǎn) B.BC中點(diǎn) C AC中點(diǎn) DC的平分線與AB的交點(diǎn)

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