Question

在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（，0），如下圖所示；拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B。

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD軸，垂足為D

∵∠BCD＋∠ACD＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°

∴∠BCD＝∠CAO

又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC

∴△BCD≌△ACO            

∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－3，1）   

（2）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（－3，1），則得

解得，所以拋物線解析式為    

（3）假設(shè)存在P、Q兩點(diǎn)，使得△ACP是直角三角形：

①若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；

則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P₁，使得P₁C＝BC，得到等腰直角三角形△ACP₁

過(guò)點(diǎn)P₁作P₁M軸

∵C P₁＝BC，∠MC P₁＝∠BCD，∠P₁MC＝∠BDC＝90°

∴△M P₁C≌△DBC

∴CM＝CD＝2，∴P₁M＝BD＝1，可求得點(diǎn)P₁（1，－1）

再證點(diǎn)P₁在拋物線上      

②若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；

則過(guò)點(diǎn)A作AP₂⊥CA，且使得A P₂＝AC，得到等腰直角三角形△AC P₂

過(guò)點(diǎn)P₂作P₂N，同理可證△AP₂N≌△CAO

∴N P₂＝OA＝2，AN＝OC＝1，可求得點(diǎn)P₂（2，1）

再證點(diǎn)P₂在拋物線上      

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

所以，在拋物線上還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形。