【題目】如圖,直線與軸交于點,與軸交于點,拋物線經(jīng)過、兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點為拋物線在第二象限內(nèi)一點,并且在對稱軸的左邊,過點作軸的垂線,垂足為點,與直線交于點,過點作軸的平行線交拋物線于點,過點作軸的垂線,垂足為點,設(shè)點的橫坐標(biāo)為.
①當(dāng)矩形的周長最大時,求的面積;
②在①的條件下,當(dāng)矩形的周長最大時,是直線上一點,是拋物線上一點,是否存在點,使得以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)①2;②存在,(-2,9)或(1,0)或(-6,-7)
【解析】
(1)先求出、兩點的坐標(biāo),再代入拋物線求出、的值即可;
(2)①先用m表示出PM的長,再求出拋物線的對稱軸及PQ的長,利用矩形的面積公式可得出其周長的解析式,進(jìn)而可得出矩形面積的最大值,求出C點坐標(biāo),由三角形的面積公式即可得出結(jié)論;
②根據(jù)C點坐標(biāo)得出P點坐標(biāo),故可得出PC的長,再分點F在點G的上方與點F在點G的下方兩種情況進(jìn)行討論即可.
解:(1)∵y=x+5與x軸交于點A,與y軸交于點B,
∴當(dāng)y=0時,x=-5,即A點坐標(biāo)為(-5,0),
當(dāng)x=0時,y=5,即B點坐標(biāo)為(0,5),
將A(-5,0),B(0,5)代入y=-x2+bx+c,
得,
解得,
∴拋物線的解析式為;
(2)①∵點P的橫坐標(biāo)為m,
∴P(m,-m2-4m+5),∴PM=-m2-4m+5.
∵拋物線y=-x2-4x+5的對稱軸為直線:
∴PQ=2(-2-m)=-4-2m.
∴矩形PQMN的周長l=2(PM+PQ)=2(-m2-4m+5-4-2m)
∴l=-2m2-12m+2=-2(m+3)2+20,
∵-2<0
∴當(dāng)m=-3時,矩形PQMN的周長l最大,
此時點C的坐標(biāo)為(-3,2),CM=AM=2,
∴;
②存在,點F坐標(biāo)為(-2,9)或(1,0)或(-6,-7)
由①可知,
以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形
設(shè),則
當(dāng)點F在點G上方時,如圖1,
即
(舍)
當(dāng)點F在點G下方時,如圖2,
即
(舍)
或
點F坐標(biāo)為(-2,9)或(1,0)或(-6,-7)
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了檢測疫情期間的學(xué)習(xí)效果,某班依據(jù)學(xué)校要求進(jìn)行了測試,并將成績分成五個等級,依據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)繪制如下不完整統(tǒng)計圖表如下,請解答問題:
(1)該班參與測試的人數(shù)為________;
(2)等級的人數(shù)之比為,依據(jù)數(shù)據(jù)補全統(tǒng)計圖;
(3)扇形圖中,等級人數(shù)所對應(yīng)的扇形圖中的圓心角為________;
(4)若全年級共有1400人,請估計年級部測試等級在等級以上(包括級)的學(xué)生人數(shù).
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【題目】如圖1,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點E是邊CD上的點,且CE=4,過點E作CD的垂線,并在垂線上截取EF=3,連接CF.將△CEF繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為a.
(1)問題發(fā)現(xiàn)
當(dāng)a=0°時,AF= ,BE= ,= ;
(2)拓展探究
試判斷:當(dāng)0°≤a°<360°時,的大小有無變化?請僅就圖2的情況給出證明.
(3)問題解決
當(dāng)△CEF旋轉(zhuǎn)至A,E,F三點共線時,直接寫出線段BE的長.
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【題目】某公司組織員工到附近的景點旅游,根據(jù)旅行社提供的收費方案,繪制了如圖所示的圖象,圖中折線ABCD表示人均收費y(元)與參加旅游的人數(shù)x(人)之間的函數(shù)關(guān)系.
(1)當(dāng)參加旅游的人數(shù)不超過10人時,人均收費為 元;
(2)如果該公司支付給旅行社3600元,那么參加這次旅游的人數(shù)是多少?
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【題目】慶祝建國70周年暨我愛我家·美麗菏澤群眾文藝展演圓滿落幕,某學(xué)習(xí)小組對文藝展演中的舞蹈《不忘初心》,獨舞《梨園一生》,舞蹈《炫動的牡丹》,民族歌舞組合《阿里郎+》這四個節(jié)目開展“我最喜愛的舞蹈節(jié)目”調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了部分觀眾(每位觀眾必選且只能選這四個節(jié)目中的一個)并將得到的信息繪制了下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖:
(1)本次一共調(diào)查了多少名觀眾?
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整,并求出扇形統(tǒng)計圖中所對應(yīng)的圓心角的度數(shù);
(3)學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備從4個節(jié)目中隨機(jī)選取兩個節(jié)目的錄像帶回學(xué)校給同學(xué)們觀看,請用樹狀圖或者列表的方法求恰好選中舞蹈《不忘初心》和舞蹈《炫動的牡丹》的概率.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將△ABO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到△AB1C1的位置,點B、O分別落在點B1、C1處,點B1在x軸上,再將△AB1C1繞點B1順時針旋轉(zhuǎn)到△A1B1C2的位置,點C2在x軸上,將△A1B1C2繞點C2順時針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C2的位置,點A2在x軸上,依次進(jìn)行下去….若點A(,0),B(0,4),則點B2014的橫坐標(biāo)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】菱形ABCD中,∠ABC=30°,AC⊥BD,點E在對角線BD上,∠AED=45°,P是菱形上一點,若△AEP是以AE為直角邊為直角三角形,則tan∠APE的值為________.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=4,∠BAC=30°,點O為對角線AC上的動點(不與A、C重合),以點O為圓心在AC下方作半徑為2的半圓O,交AC于點E、F.
(1)當(dāng)半圓O過點A時,求半圓O被AB邊所截得的弓形的面積;
(2)若M為的中點,在半圓O移動的過程中,求BM的最小值;
(3)當(dāng)半圓O與矩形ABCD的邊相切時,求AE的長.
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【題目】由于新冠肺炎影響,全國開展了“停課不停學(xué)”線上教學(xué),為了解學(xué)生在家學(xué)習(xí)情況,五月7日開學(xué)后,某中學(xué)1200名學(xué)生參加了入學(xué)摸底測試,為了了解本次測試成績情況,王老師從中抽取了部分學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(得分取整數(shù),滿分為100分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計,并制作了如圖頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖(不完整且局部污損,其中“■”表示被污損的數(shù)據(jù)).請解答下列問題:
成績分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
50≤x<60 | 8 | 0.16 |
60≤x<70 | 12 | a |
70≤x<80 | ■ | 0.5 |
80≤x<90 | 3 | 0.06 |
90≤x≤100 | b | c |
合計 | ■ | 1 |
(1)寫出a,b,c的值;
(2)請估計這1200名學(xué)生中有多少人的成績不低于70分;
(3)在選取的樣本中,從成績是80分以上(含80分)的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)參加學(xué)習(xí)經(jīng)驗分享活動,求所抽取的2名同學(xué)來自同一組的概率.
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