【題目】在等腰△ABC中,AB=AC,點D是直線BC上一點(不與B、C重合),以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,連接CE.
(1)如圖1,當(dāng)點D在線段BC上,如果∠BAC=90°,求∠BCE的度數(shù);
(2)如圖2,當(dāng)點D在線段BC上,如果∠BAC=60°,則∠BCE的度數(shù);
(3)設(shè)∠BAC=α,∠BCE=β,如圖3,當(dāng)點D在線段BC上移動,則α,β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由;
【答案】(1)90°;(2)120°;(3)見解析.
【解析】
(1)證明△ABD≌△ACE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B=∠ACE,即可求解;
(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACE=∠B=60°,計算即可求解;
(3)根據(jù)三角形的內(nèi)角和的性質(zhì)分三種情況討論即可求解.
解:(1)90°.
理由:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD與△ACE中,
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠B=∠ACE.
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB,
∴∠BCE=∠B+∠ACB,
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°;
(2)∵∠BAC=60°,
∴∠DAE=∠BAC=60°,
∵AB=AC,AD=AE,
∴∠B=∠ACB=60°,∠ADE=∠AED=60°,
由(1)可得∠B=∠ACE=60°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°.
(3)①α+β=180°,
理由:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC.
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD與△ACE中,
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠B=∠ACE.
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB.
∴∠B+∠ACB=β,
∵α+∠B+∠ACB=180°,
∴α+β=180°;
②當(dāng)點D在射線BC上時,α+β=180°;
理由:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
∵在△ABD和△ACE中
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°,
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°,
∴α+β=180°;
當(dāng)點D在射線BC的反向延長線上時,α=β.
理由:∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAB=∠EAC,
∵在△ADB和△AEC中,
AD=AE,∠DAB=∠EAC,AB=AC
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB,∠ACE=∠BCE+∠ACB,
∴∠BAC=∠BCE,
即α=β.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校260名學(xué)生參加植樹活動,要求每人植樹4~7棵,活動結(jié)束后隨機抽查了20名學(xué)生每人的植樹量,并分為四種類型,A:4棵;B:5棵;C:6棵;D:7棵.將各類的人數(shù)繪制成扇形圖(如圖1)和條形圖(如圖2),經(jīng)確認(rèn)扇形圖是正確的,而條形圖尚有一處錯誤.
回答下列問題:
(1)寫出條形圖中存在的錯誤,并說明理由;
(2)寫出這20名學(xué)生每人植樹量的眾數(shù)和中位數(shù);
(3)求這20名學(xué)生每人植樹量的平均數(shù),并估計這260名學(xué)生共植樹多少棵?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】鄭老師想為希望小學(xué)四年(3)班的同學(xué)購買學(xué)習(xí)用品,了解到某商店每個書包的價格比每本詞典多8元,用124元恰好可以買到3個書包和2本詞典.
(1)每個書包和每本詞典的價格各是多少元?
(2)鄭老師有1000元,他計劃為全班40位同學(xué)每人購買一件學(xué)習(xí)用品(一個書包或一本詞典)后,余下不少于100元且不超過120元的錢購買體育用品,共有哪幾種購買書包和詞典的方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:小剛站在河邊的點處,在河的對面(小剛的正北方向)的處有一電線塔,他想知道電線塔離他有多遠(yuǎn),于是他向正西方向走了30步到達(dá)一棵樹處,接著再向前走了30步到達(dá)處,然后他左轉(zhuǎn)直行,當(dāng)小剛看到電線塔、樹與自己現(xiàn)處的位置在一條直線時,他共走了140步.
(1)根據(jù)題意,畫出示意圖;
(2)如果小剛一步大約50厘米,估計小剛在點處時他與電線塔的距離,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰△ABC中,AB=AC=,BC=4,點B在y軸上,BC∥x軸,反比例函數(shù)(x>0)的圖像經(jīng)過點A,交BC于點D.
(1)若OB=3,求k的值;
(2)連接CO,若AB=BD,求四邊形ABOC的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(-4,1)、B(-1,1)、C(-4,3).
(1)畫出Rt△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的圖形Rt△A1B1C1;
(2)若Rt△ABC與Rt△A2BC2關(guān)于點B中心對稱,則點A2的坐標(biāo)為 、C2的坐標(biāo)為 .
(3)求點A繞點B旋轉(zhuǎn)180°到點A2時,點A在運動過程中經(jīng)過的路程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點D在AC上,點F、G分別在AC、BC的延長線上,CE平分∠ACB交BD于點O,且∠EOD+∠OBF=180°,∠F=∠G.則圖中與∠ECB相等的角有( )
A. 6個 B. 5個 C. 4個 D. 3個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有一個△ABC,頂點A(-1,3),B(2,0),C(-3,-1).
(1)畫出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1(不寫畫法),并寫出點A1,B1,C1的坐標(biāo);
(2)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用,催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展.阜陽市某家快遞公司,2017年3月份與5月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件.現(xiàn)假定該公司每月投遞的快遞總件數(shù)的增長率相同.
(1)求該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率?
(2) 如果平均每人每月最多可投遞快遞0.6萬件,那么該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務(wù)員能否完成2017年6月份的快遞投遞任務(wù)?如果不能,請問至少需要增加幾名業(yè)務(wù)員?
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