Question

18．如圖，在菱形ABCD中，E為AD邊的中點，BE與對角線AC交于點F，過點F作FG⊥AB，垂足為點G．
（1）求證：FC=2AF；
（2）若∠1=∠2，CD=2$\sqrt{3}$，求FG的值．

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形△AEF∽△CBF的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行證明；
（2）由全等三角形△AEF≌△AGF（SAS）的對應(yīng)角相等推知BE⊥AD，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求得∠2=30°，則通過解直角△BFG來求FG的長度．

解答 （1）證明：如圖，在菱形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，則△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{CF}$．
又∵E為AD邊的中點，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{AF}{CF}$，即FC=2AF；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠3=∠4，∠1=∠4，AB=AD，
∵∠1=∠2，
∴∠4=∠2，
∴AF=FB，
∵FG⊥AB，
∴GF垂直平分AB，
∴AG=BG，
∵E為邊AD的中點，
∴AE=AG，
在△AEF和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠3=∠4}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AEF=∠AGF=90°，
∴3∠2=90°，則∠2=30°，
∵AG=BG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∴FG=$\sqrt{3}$•tan30°=1．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，有一定難度．