Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)D為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，

①連接BC、CD、BD，設(shè)BD交直線AC于點(diǎn)E，△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2．求：的最大值；

②如圖2，是否存在點(diǎn)D，使得∠DCA＝2∠BAC？若存在，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當(dāng)時(shí)，的最大值是；②點(diǎn)D的坐標(biāo)是

【解析】

（1）根據(jù)題意得到A（-4，0），C（0，2）代入y=-x2+bx+c，于是得到結(jié)論；

（2）①如圖，令y=0，解方程得到x1=-4，x2=1，求得B（1，0），過(guò)D作DM⊥x軸于M，過(guò)B作BN⊥x軸交于AC于N，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

②根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點(diǎn)P，求得P（-，0），得到PA=PC=PB=，過(guò)D作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延線于G，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解：（1）根據(jù)題意得A（-4，0），C（0，2），

∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)A．C兩點(diǎn)，

∴，

∴，

拋物線解析式為： ;

（2）①令，

∴

解得： ,

∴B（1，0）

過(guò)點(diǎn)D作軸交AC于M，過(guò)點(diǎn)B作軸交AC于點(diǎn)N，

∴∥

∴

∴

設(shè)：

∴

∵

∴

∴

∴當(dāng)時(shí)，的最大值是 ;

②∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），

∴AC=2，BC=，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，

取AB的中點(diǎn)P，

∴P（-，0），

∴PA=PC=PB=，

∴∠CPO=2∠BAC，

∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，

過(guò)D作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延長(zhǎng)線于G，如圖，

∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，

∴∠CDG=∠BAC，

∴tan∠CDG=tan∠BAC=，

即RC：DR=，

令D（a，-a2-a+2），

∴DR=-a，RC=-a2-a，

∴（-a2-a）：（-a）=1：2，

∴a1=0（舍去），a2=-2，

∴xD=-2，

∴-a2-a+2=3,

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是