【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,其對稱軸交拋物線于點D,交x軸于點E,已知OB=OC=6.
(1)求拋物線的解析式及點D的坐標;
(2)連接BD,F(xiàn)為拋物線上一動點,當∠FAB=∠EDB時,求點F的坐標;
(3)平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點,以線段MN為對角線作菱形MPNQ,當點P在x軸上,且PQ=MN時,求菱形對角線MN的長.
【答案】(1) ,點D的坐標為(2,-8) (2) 點F的坐標為(7,)或(5,)(3) 菱形對角線MN的長為或.
【解析】分析:(1)利用待定系數(shù)法,列方程求二次函數(shù)解析式.(2)利用解析法,∠FAB=∠EDB, tan∠FAG=tan∠BDE,求出F點坐標.(3)分類討論,當MN在x軸上方時,在x軸下方時分別計算MN.
詳解:
(1)∵OB=OC=6,
∴B(6,0),C(0,-6).
∴,
解得,
∴拋物線的解析式為.
∵=,
∴點D的坐標為(2,-8).
(2)如圖,當點F在x軸上方時,設點F的坐標為(x,).過點F作FG⊥x軸于點G,易求得OA=2,則AG=x+2,FG=.
∵∠FAB=∠EDB,
∴tan∠FAG=tan∠BDE,
即,
解得,(舍去).
當x=7時,y=,
∴點F的坐標為(7,).
當點F在x軸下方時,設同理求得點F的坐標為(5,).
綜上所述,點F的坐標為(7,)或(5,).
(3)∵點P在x軸上,
∴根據菱形的對稱性可知點P的坐標為(2,0).
如圖,當MN在x軸上方時,設T為菱形對角線的交點.
∵PQ=MN,
∴MT=2PT.
設TP=n,則MT=2n. ∴M(2+2n,n).
∵點M在拋物線上,
∴,即.
解得,(舍去).
∴MN=2MT=4n=.
當MN在x軸下方時,設TP=n,得M(2+2n,-n).
∵點M在拋物線上,
∴,
即.
解得,(舍去).
∴MN=2MT=4n=.
綜上所述,菱形對角線MN的長為或.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某班級為獎勵參加校運動會的運動員,分別用160元和120元購買了相同數(shù)量的甲、乙兩種獎品,其中每件甲種獎品比每件乙種獎品貴4元.
請你根據以上信息,提出一個用分式方程解決的問題,并寫出解答過程.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一居民樓底部B與山腳P位于同一水平線上,小李在P處測得居民樓頂A的仰角為60°,然后他從P處沿坡角為45°的山坡向上走到C處,這時,PC=30 m,點C與點A恰好在同一水平線上,點A、B、P、C在同一平面內.
(1)求居民樓AB的高度;
(2)求C、A之間的距離.(結果保留根號)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內接于⊙O,AB是直徑,⊙O的切線PC交BA的延長線于點P,OF∥BC,交AC于點E,交PC于點F,連接AF.
(1)求證:AF是⊙O的切線;
(2)已知⊙O的半徑為4,AF=3,求線段AC的長.
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【題目】第16屆省運會在我市隆重舉行,推動了我市各校體育活動如火如荼的開展,在某校射箭隊的一次訓練中,甲,乙兩名運動員前5箭的平均成績相同,教練將兩人的成績繪制成如下尚不完整的統(tǒng)計圖表.
乙運動員成績統(tǒng)計表(單位:環(huán))
第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次 |
8 | 10 | 8 | 6 |
(1)甲運動員前5箭射擊成績的眾數(shù)是 環(huán),中位數(shù)是 環(huán);
(2)求乙運動員第5次的成績;
(3)如果從中選擇一個成績穩(wěn)定的運動員參加全市中學生比賽,你認為應選誰去?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=k1x+1與雙曲線y=相交于P(1,m),Q(-2,-1)兩點.
(1)求m的值;
(2)若A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)為雙曲線上三點,且x1<x2<0<x3,請直接說明y1,y2,y3的大小關系;
(3)觀察圖象,請直接寫出不等式k1x+1>的解集.
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【題目】某商家將一種電視機按進價提高35%后定價,然后打出“九折酬賓,外送50元出租車費”的廣告,結果每臺電視機獲利208元.
(1)求每臺電視機的進價;
(2)另有一家商家出售同類產品,按進價提高40%,然后打出“八折酬賓”的廣告,如果你想買這種產品,應選擇哪一個商家?
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【題目】如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=6,BC=16,E是BC的中點.點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā),沿AD向點D運動;點Q同時以每秒2個單位長度的速度從點C出發(fā),沿CB向點B運動.點P停止運動時,點Q也隨之停止運動.當運動時間________秒時,以點P,Q,E,D為頂點的四邊形是平行四邊形.
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