Question

在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動點(diǎn).

（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式．

（2）連結(jié)PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C， 那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，四邊形 ABPC的面積最大并求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.

Answer 1

（1）y=x2-2x-3；（2）點(diǎn)P（，-）；（3）當(dāng)x=時，四邊形ABPC的面積最大．此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，-），四邊形ABPC的面積．

【解析】

試題分析：（1）把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=x2+bx+c即可求出bc的值，故可得出二次函數(shù)的解析式；

（2）由于四邊形POP′C為菱形，OC必為對角線，進(jìn)而可知OC的中垂線與y軸右邊的拋物線部分的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，且P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為OC長的一半的相反數(shù)，最終可得P點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)E，設(shè)P（x，x2-2x-3），易得，直線BC的解析式為y=x-3則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x-3），再根據(jù)S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）∵點(diǎn)B（3，0），C（0，-3）在二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象上，

∴將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得

，解得：

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2-2x-3；

（2）由于菱形的對角線互相垂直平分，所以點(diǎn)P必在OC的垂直平分線上，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-，代入拋物線y=x2-2x-3中，得：-=x2-2x-3，

解得 x1=，x2=（舍去）

∴點(diǎn)P（，-）

（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)E，

設(shè)P（x，x2-2x-3），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵B（3，0），C（0，-3），

∴，

解得，

∴直線BC的解析式為y=x-3．

∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x-3），

∴S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

=ABOC+QPOE+QPEB

=×4×3+（3x-x2）×3

=-（x-）2+，

∴當(dāng)x=時，四邊形ABPC的面積最大．此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，-），四邊形ABPC的面積．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．