Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0），現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B，分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D，連接AC，BD，CD，得平行四邊形ABDC．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；

（2）若在直線CD上存在點(diǎn)M，連接MA，MB，使S△MAB＝2S△MBD，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P在直線BD上運(yùn)動(dòng)，連接PC，PO，請(qǐng)畫(huà)出圖形，寫(xiě)出∠CPO，∠DCP，∠BOP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（0，2），D（4，2）；（2）M（2，2）或（6，2）；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在BD上，∠CPO＝∠DCP+∠BOP，見(jiàn)解析；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPO＝∠BOP﹣∠DCP，見(jiàn)解析；③當(dāng)點(diǎn)P在線段DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPO＝∠DCP﹣∠BOP，見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)向上平移縱坐標(biāo)加，向右平移橫坐標(biāo)加求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)即可，

（2）先求出S△MAB＝4，進(jìn)而判斷出SABCD＝2S△MAB＝2S△BCD，進(jìn)而判斷出S△MBD＝2，再分兩種情況即可得出結(jié)論；

（3）分三種情況，根據(jù)平移的性質(zhì)可得AB∥CD，再過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，根據(jù)平行公理可得PE∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE即可得出結(jié)論．

解：（1）∵將A（﹣1，0），B（3，0）分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，

∴C（0，2），D（4，2）；

（2）∵AB＝4，CO＝2，

∴S△MAB＝AB×OC＝4，

∵SABCD＝AB×OC＝8＝2S△MAB＝2S△BCD，

∵S△MAB＝2S△MBD，

∴S△MBD＝2，

當(dāng)點(diǎn)M在邊CD上時(shí)，

∴點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，

∴M（2，2），

當(dāng)點(diǎn)M在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，

利用對(duì)稱性得，M'（6，2），

∴M（2，2）或（6，2）；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在BD上，如圖1，

由平移的性質(zhì)得，AB∥CD，

過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，則PE∥CD，

∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，

∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP，

②當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，

由平移的性質(zhì)得，AB∥CD，

過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，則PE∥CD，

∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，

∴∠CPO＝∠OPE﹣∠CPE＝∠BOP﹣∠DCP，

③當(dāng)點(diǎn)P在線段DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，

同（2）的方法得出∠CPO＝∠DCP﹣∠BOP．