Question

已知：如圖1，圖形①滿足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°．圖形②與圖形①恰好拼成一個菱形（如圖2）．記AB的長度為a，BM的長度為b．
（1）圖形①中∠B=

 

°，圖形②中∠E=

 

°；
（2）小明有兩種紙片各若干張，其中一種紙片的形狀及大小與圖形①相同，這種紙片稱為“風(fēng)箏一號”；另一種紙片的形狀及大小與圖形②相同，這種紙片稱為“飛鏢一號”．
①小明僅用“風(fēng)箏一號”紙片拼成一個邊長為b的正十邊形，需要這種紙片

 

 張；
②小明若用若干張“風(fēng)箏一號”紙片和“飛鏢一號”紙片拼成一個“大風(fēng)箏”（如圖3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ．請你在圖3中畫出拼接線并保留畫圖痕跡．（本題中均為無重疊、無縫隙拼接）

Answer 1

分析：（1）連接AM，根據(jù)三角形ADM和三角形ABM的三邊對應(yīng)相等，得到兩三角形全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得到角B和角D相等，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，由角DAB和角DMB的度數(shù)，即可求出角B的度數(shù)；根據(jù)菱形的對邊平行，得到AB與DC平行，得到同旁內(nèi)角互補，即角A加角ADB加角MDC等于180°，由角A和角ADB的度數(shù)即可求出角FEC的度數(shù)；
（2）①由題意可知，“風(fēng)箏一號”紙片中的點A與正十邊形的中心重合，由角DAB為72°，根據(jù)周角為360°，利用360°除以72°即可得到需要“風(fēng)箏一號”紙片的張數(shù)；
②以P為圓心，a長為半徑畫弧，與PI和PJ分別交于兩點，然后以兩交點為圓心，以b長為半徑在角IPJ的內(nèi)部畫弧，兩弧交于一點，連接這點與點Q，畫出滿足題意的拼接線．

解答：解：（1）連接AM，如圖所示：
∵AD=AB，DM=BM，AM為公共邊，
∴△ADM≌△ABM，
∴∠D=∠B，
又因為四邊形ABMD的內(nèi)角和等于360°，∠DAB=72°，∠DMB=144°，
∴∠B=

360°-72°-144°

2

=72°；
在圖2中，因為四邊形ABCD為菱形，所以AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=∠A+∠ADM+∠CEF=180°，∠A=72°，∠ADM=72°，
∴∠CEF=180°-72°-72°=36°；

（2）①用“風(fēng)箏一號”紙片拼成一個邊長為b的正十邊形，
得到“風(fēng)箏一號”紙片的點A與正十邊形的中心重合，又∠A=72°，
則需要這種紙片的數(shù)量=

360°

72°

=5；
②根據(jù)題意可知：“風(fēng)箏一號”紙片用兩張和“飛鏢一號”紙片用一張，
畫出拼接線如圖所示：
故答案為：（1）72°；36°；（2）①、5．

點評：此題考查掌握菱形的性質(zhì)，靈活運用兩三角形的全等得到對應(yīng)的角相等，掌握密鋪地面的秘訣，鍛煉學(xué)生的動手操作能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，是一道中檔題．