【題目】如圖:AD是正△ABC的高,O是AD上一點,⊙O經過點D,分別交AB、AC于E、F
(1)求∠EDF的度數(shù);
(2)若AD=6,求△AEF的周長;
(3)設EF、AD相較于N,若AE=3,EF=7,求DN的長.
【答案】(1)60°;⑵18;⑶DN=
【解析】
(1)作OI⊥AB于I,OJ⊥AC于J,連接OE,OF,可得△OIE≌△OJF(HL),∠EOF=120°,
可得∠EDF的度數(shù);
(2)設AD與圓O交于點G,連接FG,AD是正△ABC的高,∠B=∠C=60°,CD=BD, GD是圓O的直徑,由圓與正三角形的對稱性,可得∠BED=∠ FED, 作DK⊥AB,DL⊥AC,DM⊥EF,可得DK=DL,可得△EKD≌EFD與△DMF≌△DLF,可得△AEF的周長=AF+AE+EF=2AL,可得答案.
(3)過E點AC的垂線,長為,過E點做AD的垂線,長為,過F做AD的垂線,長為,設AC=x,==,AF=-10,FC=10-,EB=x-3,BD=DC=,由△FDC∽△DEB,可得,代入可得x的值,由=,可得AN,可求得DN.
解:(1)
AD是正△ABC的高,∴∠BAC=60°,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=30°,
作OI⊥AB于I,OJ⊥AC于J,連接OE,OF,∴OI=OJ,
∴△OIE≌△OJF(HL),∴∠IOE=∠JOF
∴∠EOF=∠EOJ+∠FOJ=∠EOJ+∠IOE=∠IOJ=120°,
∴∠EDF=∠EOF=60°
⑵
設AD與圓O交于點G,連接FG,AD是正△ABC的高,∠B=∠C=60°,CD=BD, GD是圓O的直徑,由圓與正三角形的對稱性,可得∠BED=∠ FED, 作DK⊥AB,DL⊥AC,DM⊥EF,可得DK=DL
∠BED=∠ FED,DK⊥AB, DM⊥EF,ED=ED
△EKD≌EFD, EK=EM,DK=DM,
在△DMF與△DLF中,
DK=DM=DL, DL⊥AC,DM⊥EF,
△DMF≌△DLF, MF=FL
易得:AK=AL,AL=AC=9
△AEF的周長=AF+AE+EF=2AL,AL=9,∴=18=
⑶
過E點AC的垂線,長為,過E點做AD的垂線,長為,過F做AD的垂線,長為,
設AC=x,==,AF=-10,FC=10-,EB=x-3,BD=DC=,
由△FDC∽△DEB,可得,代入得:
,解得:=12,=(舍去),
AF=-10=8,AD==,
=
可得AN=
DN=
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【題目】如圖,雙曲線y=(x<0)經過Rt△ABC的兩個頂點A,C,∠ABC=90°,AB∥x軸,連接OA,將Rt△ABC沿AC翻折后得到Rt△AB′C,點B′剛好落在線段OA上,連接OC,OC恰好平分OA與x軸負半軸的夾角,若Rt△ABC的面積為2,則k的值為___.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,將對角線AC繞對角線交點O旋轉,分別交邊AD、BC于點E、F,點P是邊DC上的一個動點,且保持DP=AE,連接PE、PF,設AE=x(0<x<3).
(1)填空:PC= ,FC= 。(用含x的代數(shù)式表示)
(2)求△PEF面積的最小值;
(3)在運動過程中,PE⊥PF是否成立?若成立,求出x的值;若不成立,請說明理由.
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【題目】某校開展了以“責任、感恩”為主題的班隊活動,活動結束后,初三(2)班數(shù)學興趣小組提出了5個主要觀點并在本班學生中進行了調查(要求每位同學只選自己最認可的一項觀點),并制成了如下扇形統(tǒng)計圖,
(1)該班有 人,學生選擇“和諧”觀點的有 人,在扇形統(tǒng)計圖中,“和諧”觀點所在扇形區(qū)域的圓心角是 度;
(2)如果該校有360名初三學生,利用樣本估計選擇“感恩”觀點的初三學生約有 人;
(3)如果數(shù)學興趣小組在這5個主要觀點中任選兩項觀點在全校學生中進行調查,求恰好選到“和諧”和“感恩”觀點的概率(用樹狀圖或列表法分析解答).
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【題目】在推進城鄉(xiāng)義務教育均衡發(fā)展工作中,我市某區(qū)政府通過公開招標的方式為轄區(qū)內全部鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學采購了某型號的學生用電腦和教師用筆記本電腦,其中,A鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學更新學生用電腦110臺和教師用筆記本電腦32臺,共花費30.5萬元;B鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學更新學生電腦55臺和教師用筆記本電腦24臺,共花費17.65萬元.
(1)求該型號的學生用電腦和教師用筆記本電腦單價分別是多少萬元?
(2)經統(tǒng)計,全部鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學需要購進的教師用筆記本電腦臺數(shù)比購進的學生用電腦臺數(shù)的少90臺,在兩種電腦的總費用不超過預算438萬元的情況下,至多能購進的學生用電腦和教師用筆記本電腦各多少臺?
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點,AE和過點C的切線互相垂直,垂足為E,AE交⊙O于點D,直線EC交AB的延長線于點P,連接AC,BC,PB:PC=1:2.
(1)求證:AC平分∠BAD;
(2)探究線段PB,AB之間的數(shù)量關系,并說明理由;
(3)若AD=3,求△ABC的面積.
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【題目】如圖,點C在以AB為直徑的⊙O上,BD與過點C的切線垂直于點D,BD與⊙O交于點E.
(1)求證:BC平分∠DBA;
(2)連接AE和AC,若cos∠ABD=,OA=m,請寫出求四邊形AEDC面積的思路.
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【題目】拋物線的部分圖象如圖所示,與x軸的一個交點坐標為,拋物線的對稱軸是下列結論中:
;;方程有兩個不相等的實數(shù)根;拋物線與x軸的另一個交點坐標為;若點在該拋物線上,則.
其中正確的有
A. 5個 B. 4個 C. 3個 D. 2個
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【題目】某市射擊隊甲、乙兩名隊員在相同的條件下各射耙10次,每次射耙的成績情況如圖所示:
(1)請將下表補充完整:
(2)請從下列三個不同的角度對這次測試結果進行分析:
①從平均數(shù)和方差相結合看, 的成績好些;
②從平均數(shù)和中位數(shù)相結合看, 的成績好些;
③若其他隊選手最好成績在9環(huán)左右,現(xiàn)要選一人參賽,你認為選誰參加,并說明理由.
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