Question

如圖①，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，G、F分別是AB、AC上的兩點(diǎn)，且GF∥BC，AF=2，BG= 4。
（1）求梯形BCFG的面積；
（2）有一梯形DEFG與梯形BCFG重合，固定△ABC，將梯形DEFG向右運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合為止，如圖②，
①若某時(shí)段運(yùn)動(dòng)后形成的四邊形BDG'G中，DG⊥BG'，求運(yùn)動(dòng)路程BD的長(zhǎng)，并求此時(shí)G'B²的值；
②設(shè)運(yùn)動(dòng)中BD的長(zhǎng)度為x，試用含x的代數(shù)式表示出梯形DEFG與Rt△ABC重合部分的面積S。

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°
又∵GF∥BC，  ∴∠AGF=∠AFG=45°  ∴AG=AF=2，  AB=AC=6
∴
（2）①∵在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有DG'∥BG且DG'=BG，  ∴BDG'G是平行四邊形
當(dāng)DG⊥BG'時(shí)，BDG'G是菱形  ∴BD=BG=4
如圖③，當(dāng)BDG'G為菱形時(shí)，過(guò)點(diǎn)G'作G'M⊥BC于點(diǎn)M
在Rt△G'DM中，∠G'DM=45°，DG'=4，∴DM=G'M且
∴DM=G'M=，∴BM=    連接G'B
在Rt△G'BM中，
②當(dāng)0≤x≤時(shí)，其重合部分為梯形，如圖②
在Rt△AGF與Rt△ABC中，，
過(guò)G點(diǎn)作GH垂直BC于點(diǎn)H，得GH=。
由①，知BD=GG'=x，DC=，
∴
當(dāng)≤x≤時(shí)，其重合部分為等腰直角三角形，如圖③
∵斜邊DC=，斜邊上的高為，
∴