Question

【題目】如圖，是的外接圓，點(diǎn)在邊上，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)．

（1）求證：是的切線(xiàn)；

（2）求證：

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠BAC為直角，再由AD為角平分線(xiàn)，得到一對(duì)角相等，根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍及等量代換確定出∠DOC為直角，與平行線(xiàn)中的一條垂直，與另一條也垂直得到OD與PD垂直，即可得證；
（2）由PD與BC平行，得到一對(duì)同位角相等，再由同弧所對(duì)的圓周角相等及等量代換得到∠P=∠ACD，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得到一對(duì)角相等，利用兩對(duì)角相等的三角形相似即可得證；

（1）∵圓心O在BC上，
∴BC是圓O的直徑，
∴∠BAC=90°，
連接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠DAC，
∵∠DOC=2∠DAC，
∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，
∵PD∥BC，
∴OD⊥PD，
∵OD為圓O的半徑，
∴PD是圓O的切線(xiàn)；
（2）∵PD∥BC，
∴∠P=∠ABC，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠P=∠ADC，
∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠PBD=∠ACD，
∴△PBD∽△DCA．

（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例）

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