【題目】問題背景:已知在△ABC中,邊AB上的動點DAB運動(與A,B不重合),同時點E由點C沿BC的延長線方向運動(E不與C重合),連接DEAC于點F,點H是線段AF上一點,求的值.

(1)初步嘗試

如圖(1),若ABC是等邊三角形,DHAC,且點D、E的運動速度相等,小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以過點DDGBCAC于點G,先證GHAH,再證GFCF,

從而求得的值為

(2)類比探究

如圖(2),若ABC中,∠ABC=90°,ADHBAC=30°,且點D,E的運動速度之比是︰1,求的值.

(3)延伸拓展

如圖(3)若在ABC中,ABAC,ADHBAC=36°,記m,且點DE的運動速度相等,試用含m的代數(shù)式表示的值(直接寫出果,不必寫解答過程).

【答案】(1)2;(2);(3)

【解析】(1)過點D作DG∥BC交AC于點G,由題意知△AGD是等邊三角形,所以AD=GD,所以可以證明△GDF≌△CEF,所以CF=GF,由三線合一可知:AH=GH,所以=2;

(2)過點D作DG∥BC交AC于點G,由點D、E的運動速度之比是:1可知GD=CE,所以可以證明△GDF≌△CEF,所以CF=GF,所以CF=GF,由∠ABC=90°,∠ADH=∠BAC=30°可知:AH=DH,所以=2;

(3)類似(1)(2)的方法可求出=m和=m,然后利用GH+FG=m(AC-HF),

即可求出的值.

解:(1)過點D作DG∥BC交AC于點G,

∵△ABC是等邊三角形,

∴△AGD是等邊三角形,

∴AD=GDA,

由題意知:CE=AD,

∴CE=GD,

∵DG∥BC,

∴∠GDF=∠CEF,

在△GDF與△CEF中,

∠GDF=∠CEF,∠GFD=∠EFC,CE=GD,

∴△GDF≌△CEF(AAS),

∴CF=GF,

∵DH⊥AG,

∴AH=GH,

∴AC=AG+CG=2GH+2CF=2(GH+CF),HF=GH+GF,

=2;

(2)

如圖(1)過點DDGBCAC于點G

則∠ADG=∠ABC=90°.

∵∠BAC=∠ADH=30°,

AHDH,∠GHD=∠BAC+∠ADH=60°,

HDG=∠ADG-∠ADH=60°,

∴△DGH為等邊三角形.

GDGH DH AH,ADGD·tan60°=GD

由題意可知,ADCE.∴GDCE

DGBC,∴∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF

∴△GDF≌△CEF.∴GFCF

GHGFAHCF,即HFAHCF,

HFAC=2,即

(3)

提示:如圖(2)

,

過點DDGBCAC于點G,

易得ADAG,ADEC,∠AGD=∠ACB

在△ABC中,∵∠BAC=∠ADH=36°,ABAC

AHDH,∠ACB=∠B=72°,∠GHD=∠HAD+∠ADH=72°.

∴∠AGD=∠GHD=72°.

∵∠GHD=∠B=∠HGD=∠ACB,∴△ABC∽△DGH.∴,

GHmD HmA H

由△ADG∽△ABC可得

DGBC,∴.∴FGmFC

GHFGmAHFC)=mACHF),

HFmACHF).∴

“點睛”本題考查三角形的綜合問題,涉及全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì)等知識,內(nèi)容比較綜合,需要學(xué)生靈活運用所學(xué)的知識進行解答.

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