Question

【題目】如圖1，直線l：y=mx+10m與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．

（1）當(dāng)OA=OB時(shí)，試確定直線l的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在（1）的條件下，如圖2，設(shè)Q為直線AB上一點(diǎn)，作直線OQ，過A、B兩點(diǎn)分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=8，BN=6，求MN的長；

（3）當(dāng)m取不同的值時(shí)，點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，分別以OB、AB為邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)在第一、二象限內(nèi)作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，連EF交y軸于P點(diǎn)，如圖3．問：當(dāng)點(diǎn)B在 y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想PB的長是否為定值？若是，請(qǐng)求出其值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+10．（2）14；（3）PB的長為定值．理由見解析.

【解析】

試題（1）令y=0可求得x=﹣10，從而可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，令x=0得y=10m，由OA=OB可知點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為10，從而可求得m的值；

（2）依據(jù)AAS證明△AMO≌△ONB，由全等三角形的性質(zhì)可知ON=AM，OM=BN，最后由MN=AM+BN可求得MN的長；

（3）過點(diǎn)E作EG⊥y軸于G點(diǎn)，先證明△ABO≌△EGB，從而得到BG=10，然后證明△BFP≌△GEP，從而得到BP=GP=BG．

解：（1）由題意知：A（﹣10，0），B（0，10m）

∵OA=OB，

∴10m=10，即m=1．

∴L的解析式y=x+10．

（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ

∴∠AMO=∠BNO=90°

∴∠AOM+∠MAO=90°

∵∠AOM+BON=90°

∴∠MAO=∠NOB

在△AMO和△ONB中，

，

∴△AMO≌△ONB．

∴ON=AM，OM=BN．

∵AM=8，BN=6，

∴MN=AM+BN=14．

（3）PB的長為定值．

理由：如圖所示：過點(diǎn)E作EG⊥y軸于G點(diǎn)．

∵△AEB為等腰直角三角形，

∴AB=EB，∠ABO+∠EBG=90°．

∵EG⊥BG，

∴∠GEB+∠EBG=90°．

∴∠ABO=∠GEB．

在△ABO和△EGB中，

，

∴△ABO≌△EGB．

∴BG=AO=10，OB=EG

∵△OBF為等腰直角三角形，

∴OB=BF

∴BF=EG．

在△BFP和△GEP中，

，

∴△BFP≌△GEP．

∴BP=GP=BG=5．