【題目】1)如圖1,在矩形中,對角線相交于點,過點作直線,且交于點,交于點,連接,且平分.

①求證:四邊形是菱形;

②直接寫出的度數(shù);

2)把(1)中菱形進行分離研究,如圖2分別在邊上,且,連接的中點,連接,并延長于點,連接.試探究線段之間滿足的關(guān)系,并說明理由;

3)把(1)中矩形進行特殊化探究,如圖3,矩形滿足時,點是對角線上一點,連接,作,垂足為點,交于點,連接,交于點.請直接寫出線段三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)①見解析;②60°;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

1)①由DOE≌△BOF,推出EO=OF,由OB=OD,推出四邊形EBFD是平行四邊形,再證明EB=ED即可;②先證明∠ABD=2ADB,推出∠ADB=30°,即可解決問題;

2)延長,使得,連接,由菱形性質(zhì),,得,由此,由ASA可證得,由此,故

,由,可證得是等邊三角形,可得,由SAS可證,可得,即是等邊三角形,

中,由,可得,由此可得;

3)結(jié)論:EG2=AG2+CE2.如圖3中,將ADG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到DCM,先證明DEG≌△DEM,再證明ECM是直角三角形即可解決問題.

1)①證明:如圖1中,

∵四邊形是矩形,

,

中,

,

,

∴四邊形是平行四邊形,

,

∴四邊形是菱形.

②∵四邊形是菱形,

平分,

,

=,

∵四邊形是矩形,

A=

+=,

==,

2)結(jié)論:

理由:如圖2中,延長,使得,連接

∵四邊形是菱形,

,

,

中,

,

,

,

,

,

是等邊三角形,

,

中,

,

,

,,

,

,

,

是等邊三角形,

中,∵,

3)結(jié)論:

理由:如圖3中,將ADG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到DCM

∵∠FAD+DEF=90°,

AFED四點共圓,

∴∠EDF=DAE=45°,∠ADC=90°

∴∠ADF+EDC=45°,

∵∠ADF=CDM

∴∠CDM+CDE=45°=EDG,

DEMDEG中,

,

∴△DEG≌△DEM,

GE=EM,

∵∠DCM=DAG=ACD=45°,AG=CM

∴∠ECM=90°,

EC2+CM2=EM2,

EG=EM,AG=CM,

GE2=AG2+CE2

練習(xí)冊系列答案
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理解:

(1)如圖1,已知RtABC在正方形網(wǎng)格中,請你只用無刻度的直尺在網(wǎng)格中找到一點D,使四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形(保留畫圖痕跡,找出3個即可);

(2)如圖2,在四邊形ABCD中,∠ABC=80°,∠ADC=140°,對角線BD平分∠ABC.

求證:BD是四邊形ABCD的“相似對角線”;

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時間

0

10

20

30

40

油溫

10

30

50

70

90

王紅發(fā)現(xiàn),燒了時,油沸騰了,則下列說法不正確的是( )

A. 沒有加熱時,油的溫度是

B. 加熱,油的溫度是

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D. 每加熱,油的溫度升高

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1)請你畫出正方形和正方形(不必尺規(guī)作圖);

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1)在如圖1中,,求的度數(shù);

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實踐探究:

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