Question

問題解決：
如圖（1），將正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上一點(diǎn)E（不與點(diǎn)C，D重合），壓平后得到折痕MN．當(dāng)

CE

CD

=

1

2

時，求

AM

BN

的值．
類比歸納：
在圖（1）中，若

CE

CD

=

1

3

，則

AM

BN

的值等于

 

；若

CE

CD

=

1

4

，則

AM

BN

的值等于

 

；若

CE

CD

=

1

n

（n為整數(shù)），則

AM

BN

的值等于

 

．（用含n的式子表示）
聯(lián)系拓廣：
如圖（2），將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上一點(diǎn)E（不與點(diǎn)C，D重合），壓平后得到折痕MN，設(shè)

AB

BC

=

1

m

(m＞1)，

CE

CD

=

1

n

，則

AM

BN

的值等于

 

．（用含m，n的式子表示）

Answer 1

分析：如圖（1-1），連接BM，EM，BE．由題設(shè)，得四邊形ABNM和四邊形FENM關(guān)于直線MN對稱．由軸對稱的性質(zhì)知MN垂直平分BE．有BM=EM，BN=EN．由于四邊形ABCD是正方形，則有∠A=∠D=∠C=90°，設(shè)AB=BC=CD=DA=2．由

CE

CD

=

1

2

得，CE=DE=1；設(shè)BN=x，則NE=x，NC=2-x．在Rt△CNE中，由勾股定理知NE²=CN²+CE²．即x²=（2-x）²+1²可解得x的值，從而得以BN的值，在Rt△ABM和在Rt△DEM中，由勾股定理知AM²+AB²=BM²，DM²+DE²=EM²，有AM²+AB²=DM²+DE²．
設(shè)AM=y，則DM=2-y，y²+2²=（2-y）²+1²可求得y的值，得到AM的值從而得到

AM

BN

=

1

5

．

解答：解：（1）方法一：如圖（1-1），連接BM，EM，BE．
由題設(shè)，得四邊形ABNM和四邊形FENM關(guān)于直線MN對稱．
∴MN垂直平分BE，
∴BM=EM，BN=EN．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，設(shè)AB=BC=CD=DA=2．
∵

CE

CD

=

1

2

，
∴CE=DE=1．
設(shè)BN=x，則NE=x，NC=2-x．
在Rt△CNE中，NE²=CN²+CE²．
∴x²=（2-x）²+1²，
解得x=

5

4

，即BN=

5

4

．
在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM²+AB²=BM²，DM²+DE²=EM²，
∴AM²+AB²=DM²+DE²．
設(shè)AM=y，則DM=2-y，
∴y²+2²=（2-y）²+1²，
解得y=

1

4

，即AM=

1

4

（6分）
∴

AM

BN

=

1

5

．
方法二：同方法一，BN=

5

4

．
如圖（1-2），過點(diǎn)N做NG∥CD，交AD于點(diǎn)G，連接BE．
∵AD∥BC，
∴四邊形GDCN是平行四邊形．
∴NG=CD=BC．
同理，四邊形ABNG也是平行四邊形．
∴AG=BN=

5

4

∵M(jìn)N⊥BE，∴∠EBC+∠BNM=90度．
∵NG⊥BC，∴∠MNG+∠BNM=90°，
∴∠EBC=∠MNG．
在△BCE與△NGM中

∠EBC=∠MNG BC=NG ∠C=∠NGM=90°

，
∴△BCE≌△NGM，EC=MG．
∵AM=AG-MG，AM=

5

4

-1=

1

4

．
∴

AM

BN

=

1

5

．

（2）如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時，連接BE，

CE

CD

=

1

n

，
不妨令CD=CB=n，則CE=1，設(shè)BN=x，則EN=x，EN²=NC²+CE²，x²=（n-x）²+1²，x=

n2+1

2n

；
作MH⊥BC于H，則MH=BC，
又點(diǎn)B，E關(guān)于MN對稱，則MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，則△EBC≌△NMH，
∴NH=EC=1，AM=BH=BN-NH=

n2+1

2n

-1=

n2-2n+1

2n

則：

AM

BN

=

n2-2n+1 2n

n2+1 2n

=

n2-2n+1

n2+1

．
故當(dāng)

CE

CD

=

1

3

，則

AM

BN

的值等于

2

5

；若

CE

CD

=

1

4

，則

AM

BN

的值等于

9

17

；

（3）若四邊形ABCD為矩形，連接BE，

CE

CD

=

1

n

，不妨令CD=n，則CE=1；
又

AB

BC

=

1

m

=

n

mn

，則BC=mn，同樣的方法可求得：
BN=

m2n2+1

2mn

，
BE⊥MN，易證得：△MHN∽△BCE．故

MH

BC

=

HN

CE

，

n

mn

=

HN

1

，
HN=

1

m

，故AM=BH=BN-HN=

m2n2-2n+1

2mn

，
故

AM

BN

=

m2n2-2n+1 2mn

m2n2+1 2mn

=

m2n2-2n+1

m2n2+1

．

故答案為：

1

5

；

9

17

；

(n-1)2

n2+1

；

n2m2-2n+1

n2m2+1

．

點(diǎn)評：本題利用了：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；2、正方形和矩形的性質(zhì)，勾股定理求解．