Question

28、設a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，…，a_n=（2n+1）²-（2n-1）²（n為大于0的自然數(shù)）．
（1）根據(jù)上述規(guī)律，求a₄，a₅的值．并寫出a_n+1的表達式；
（2）探究a_n是否為8的倍數(shù)，并用文字語言表述你所獲得的結論；
（3）若一個數(shù)的算術平方根是一個正整數(shù)（例如l，25，8l等），則稱這個數(shù)是“完全平方數(shù)”，試找出a₁，a₂，…，a_n，…這一列數(shù)中從小到大排列的前4個完全平方數(shù)，并指出當n滿足什么條件時，a_n為完全平方數(shù)（不必說明理由）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中所給的規(guī)律分別把n=4，5及n+1代入即可；
（2）把（1）中所給的a_n=（2n+1）²-（2n-1）²展開即可得出結論；
（3）把a_n=8n化為2²×2n的形式，要使a_n是完全平方數(shù)，2n必須是一個完全平方數(shù)，是一個完全平方數(shù)的2倍，即n=2k²，在分別把k=1，2，3代入即可求解．

解答：解：（1）a₄=9²-7²=32，
a₅=11²-9²=40，
a_n+1=（2n+1）²-（2n-1）²；

（2）∵a_n=（2n+1）²-（2n-1）²=8n，
∴a_n是8的倍數(shù)；

（3）∵a_n=8n=2²×2n，
∴要使a_n是完全平方數(shù)，2n必須是一個完全平方數(shù)，
∴n是一個完全平方數(shù)的2倍，即n=2k²（k=1，2，3…，且k是正整數(shù)），
∴a₁，a₂，…，a_n，…這一列數(shù)從小到大排列的前4個完全平方數(shù)是：
a₂=2²×2×2×1²=16；a₈=2²×2×2×2²=64；
a₁₈=2²×2×2×3²=144；a₃₂=2²×2×2×4²=256；
∴當n是一個完全平方數(shù)的2倍時，a_n是一個完全平方數(shù)．

點評：本題考查的是完全平方數(shù)，根據(jù)題意把a_n化為2²×2n的形式，再根據(jù)完全平方數(shù)的概念求解是解答此題的關鍵．