【題目】如圖1,已知直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,將直線在x軸下方的部分沿x軸翻折,得到一個(gè)新函數(shù)的圖象(圖中的“V形折線”).
(1)類比研究函數(shù)圖象的方法,請列舉新函數(shù)的兩條性質(zhì),并求新函數(shù)的解析式;
(2)如圖2,雙曲線y=與新函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C(1,a),點(diǎn)D是線段AC上一動點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),過點(diǎn)D作x軸的平行線,與新函數(shù)圖象交于另一點(diǎn)E,與雙曲線交于點(diǎn)P.
①試求△PAD的面積的最大值;
②探索:在點(diǎn)D運(yùn)動的過程中,四邊形PAEC能否為平行四邊形?若能,求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
【答案】(1)①函數(shù)的最小值為0;②函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=-3;新函數(shù)的解析式為y= ;(2)△PAD的面積的最大值為;②在點(diǎn)D運(yùn)動的過程中,四邊形PAEC不能為平行四邊形.理由見解析.
【解析】(1)根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合函數(shù)圖象可寫出新函數(shù)的兩條性質(zhì);求新函數(shù)的解析式,可分兩種情況進(jìn)行討論:①x≥-3時(shí),顯然y=x+3;②當(dāng)x<-3時(shí),利用待定系數(shù)法求解;
(2)①先把點(diǎn)C(1,a)代入y=x+3,求出C(1,4),再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式為y=.由點(diǎn)D是線段AC上一動點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,m+3),且-3<m<1,那么P(,m+3),PD=-m,再根據(jù)三角形的面積公式得出△PAD的面積為S=(-m)×(m+3)=-m2-m+2=-(m+)2+,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解;
②先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出AC的中點(diǎn)D的坐標(biāo),再計(jì)算DP,DE的長度,如果DP=DE,那么根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形PAEC為平行四邊形;如果DP≠DE,那么不是平行四邊形.
試題解析:(1)如圖1,均是正整數(shù)新函數(shù)的兩條性質(zhì):①函數(shù)的最小值為0;
②函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=-3;
由題意得A點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0).分兩種情況:
①x≥-3時(shí),顯然y=x+3;
②當(dāng)x<-3時(shí),設(shè)其解析式為y=kx+b.
在直線y=x+3中,當(dāng)x=-4時(shí),y=-1,
則點(diǎn)(-4,-1)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(-4,1).
把(-4,1),(-3,0)代入y=kx+b,
得
解得
∴y=-x-3.
綜上所述,新函數(shù)的解析式為y= ;
(2)如圖2,
①∵點(diǎn)C(1,a)在直線y=x+3上,
∴a=1+3=4.
∵點(diǎn)C(1,4)在雙曲線y=上,
∴k=1×4=4,y=.
∵點(diǎn)D是線段AC上一動點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),
∴可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,m+3),且-3<m<1.
∵DP∥x軸,且點(diǎn)P在雙曲線上,
∴P(,m+3),
∴PD=-m,
∴△PAD的面積為
S=(-m)×(m+3)=-m2-m+2=-(m+)2+,
∵a=-<0,
∴當(dāng)m=-時(shí),S有最大值,為,
又∵-3<-<1,
∴△PAD的面積的最大值為;
②在點(diǎn)D運(yùn)動的過程中,四邊形PAEC不能為平行四邊形.理由如下:
當(dāng)點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)時(shí),其坐標(biāo)為(-1,2),此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2),E點(diǎn)的坐標(biāo)為(-5,2),
∵DP=3,DE=4,
∴EP與AC不能互相平分,
∴四邊形PAEC不能為平行四邊形.
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(2)寫出第二次移動后這個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為 ;
(3)寫出第五次移動后這個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為 ;
(4)寫出第次移動結(jié)果這個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為 ;
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