Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，E、F在菱形邊上．
（1）證明：不論E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上如何移動(dòng)，總有BE=CF．
（2）在（1）的情況下，即當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上移動(dòng)時(shí)，請分別探究四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出其最大值．

Answer 1

分析：（1）先求證AB=AC，進(jìn)而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB進(jìn)而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根據(jù)△ABE≌△ACF可得S_△ABE=S_△ACF，故根據(jù)S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC即可解題；當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，又根據(jù)S_△CEF=S_{四邊形AECF}-S_△AEF，則△CEF的面積就會(huì)最大．

解答：（1）證明：∵菱形ABCD，∠BAD=120°，
∴連接AC，
∵∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°
∴△ABC、△ACD為等邊三角形
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，

∠1=∠3 AB=AC ∠ABC=∠4

，
∴△ABE≌△ACF．（ASA）
∴BE=CF．

（2）解：四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發(fā)生變化．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
則S_△ABE=S_△ACF，
故S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF
=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H點(diǎn)，
則BH=2，
S_{四邊形AECF}=S_△ABC=

1

2

BC•AH
=

1

2

BC•

AB2-BH2

=4

3

由“垂線段最短”可知，
當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．
故△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，
正三角形AEF的面積會(huì)最小，
又S_△CEF=S_{四邊形AECF}-S_△AEF，則△CEF的面積就會(huì)最大．
由（2）得，S_△CEF=S_{四邊形AECF}-S_△AEF
=4

3

-

1

2

×2

3

×

(2 3 )2-( 3 )2

=

3

．

點(diǎn)評：本題考查了菱形每一條對角線平分一組對角的性質(zhì)，考查了全等三角形的證明和全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了三角形面積的計(jì)算，本題中求證△ABE≌△ACF是解題的關(guān)鍵．