【題目】(題文)如圖,在矩形ABCD中,點EAD上的一個動點,連接BE,作點A關(guān)于BE的對稱點F,且點F落在矩形ABCD的內(nèi)部,連結(jié)AF,BF,EF,過點FGFAFAD于點G,設 =n.

(1)求證:AE=GE;

(2)當點F落在AC上時,用含n的代數(shù)式表示的值;

(3)若AD=4AB,且以點F,C,G為頂點的三角形是直角三角形,求n的值.

【答案】(1)見解析;(2);(3)n=16 8+4.

【解析】試題(1)因為GFAF,由對稱易得AE=EF,則由直角三角形的兩個銳角的和為90度,且等邊對等角,即可證明EAG的中點;(2)可設AE=a,則AD=na,即需要用na表示出AB,由BEAF和∠BAE==∠D=90°,可證明△ABE~△DAC , ,因為AB=DC,且DA,AE已知表示出來了,所以可求出AB,即可解答;(3)求以點F,C,G為頂點的三角形是直角三角形時的n,需要分類討論,一般分三個,∠FCG=90°,∠CFG=90°,∠CGF=90°;根據(jù)點F在矩形ABCD的內(nèi)部就可排除∠FCG=90°,所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°進行分析解答.

試題解析:(1)證明:由對稱得AE=FE,∴∠EAF=∠EFA,∵GFAE,∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°,∴∠FGA=∠EFG,∴EG=EF,AE=EG

(2)解:設AE=a,則AD=na,當點F落在AC上時(如圖1),由對稱得BEAF,∴∠ABE+∠BAC=90°,∵∠DAC+∠BAC=90°,∴∠ABE=∠DAC,又∵∠BAE=∠D=90°,∴△ABE~△DAC ,

AB=DC,∴AB2=AD·AE=na·a=na2,∵AB>0,∴AB=,= =,∴=

(3)解:設AE=a,則AD=na,由AD=4AB,則AB=

當點F落在線段BC上時(如圖2),EF=AE=AB=a,此時,∴n=4,∴當點F落在矩形外部時,n>4.

∵點F落在矩形的內(nèi)部,點GAD上,∴∠FCG<∠BCD,∴∠FCG<90°,若∠CFG=90°,則點F落在AC上,由(2)得=,∴n=16.

若∠CGF=90°(如圖3),則∠CGD+∠AGF=90°,∵∠FAG+∠AGF=90°,∴∠CGD=∠FAG=∠ABE,∵∠BAE=∠D=90°,∴△ABE~△DGC,∴ ,∴AB·DC=DG·AE,即

解得 n=n=<4(不合題意,舍去),∴當n=16 時,以點F,CG為頂點的三角形是直角三角形.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,A,B是反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象上的兩點,且A,B兩點的橫坐標分別是24,則△OAB的面積是_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在梯形ABCD中,ADBC,ECD中點,連接AE并延長AEBC的延長線于點F

1)求證:CFAD.

2)若AD3,AB8,當BC為多少時,點B在線段AF的垂直平分線上,為什么?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點,點,點P是直線上一點,且,則點P的坐標為______

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖1所示,在A,B兩地之間有汽車站C站,客車由C站駛往A地,到達A地后立即原速駛往B地,貨車由B地駛往A地,兩車同時出發(fā),勻速行駛.圖2是客車、貨車離C站的距離y(千米)與行駛時間x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系圖象,請結(jié)合圖象信息解答下列問題:

(1)A,B兩地間的距離是   千米;請直接在圖2中的括號內(nèi)填上正確數(shù)字;

(2)求貨車由B地駛往A地過程中,y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;

(3)客、貨兩車出發(fā)多長時間,距各自出發(fā)地的距離相等?直接寫出答案;

(4)客、貨兩車出發(fā)多長時間,相距500千米?直接寫出答案.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)生產(chǎn)部有技術(shù)工人15人,生產(chǎn)部為了合理制定產(chǎn)品的每月生產(chǎn)定額,統(tǒng)計了這15人某月的加工零件數(shù)如下:

每人加工零件數(shù)

540

450

300

240

210

120

人數(shù)

1

1

2

6

3

2

1)寫出這15人該月加工零件的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù);

2)生產(chǎn)部負責人要定出合理的每人每月生產(chǎn)定額,你認為應該定為多少件合適?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,點P是對角線AC上的一點,PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分別為E、F,且PE=PF,平行四邊形ABCD是菱形嗎?為什么?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD=6,AB⊥BCAD⊥CD,∠BAD=60°,點M、N分別在AB、AD邊上,若AMMB=ANND=12,則tan∠MCN=

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】ABC中,∠C=90°,AC=8BC=6,角平分線AD、BE相交于點O,則四邊形OECD的面積為(  )

A.5B.C.D.8

查看答案和解析>>

同步練習冊答案