Question

點P是x軸正半軸上的一個動點，過點P作x軸的垂線PA交雙曲線上于點A，連接OA。
（1）如下圖（1），當點P在x軸的正方向上運動時，Rt△AOP的面積大小是否變化？若不變，請求出Rt△AOP的面積；若改變，試說明理由；
（2）如下圖（2），在x軸上的點P的右側有一點D，過點D作x軸的垂線交雙曲線于點B，連接BO交AP 于點G設△AOP的面積為S₁，梯形BCPD的面積為S2，則S₁與S₂的大小關系是S₁（    ）S₂。（選填或）
（3）如下圖（3），AO的延長線與雙曲線的另一個交點是點F，F(xiàn)H⊥x軸，垂足為 H，連接AH，PF，試證明四邊形APFH的面積為一常數(shù)。

Answer 1

解：（1），設P點坐標為（x，y），
則，
即xy=1，
∴
故當P在x軸的正方向上運動時，Rt△AOP的面積不變，總等于；
（2）；
（3）因為A、F兩點關于原點O成中心對稱，F(xiàn)H⊥ x軸，易知OP=OH，所以四邊形APFH是平行四邊形，其面積為S_△AOP的4倍，即為2。故四邊形APFH的面積為一常數(shù)。