【題目】如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+3x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(﹣3,0),B(1,0),與y軸的交點(diǎn)為D,對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)C,與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)H.

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)點(diǎn)E,F(xiàn)分別是拋物線對(duì)稱軸CH上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F上方),且EF=1,求使四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)E,F(xiàn)坐標(biāo)及最小值;

(3)如圖2,點(diǎn)P為對(duì)稱軸左側(cè),x軸上方的拋物線上的點(diǎn),PQ⊥AC于點(diǎn)Q,是否存在這樣的點(diǎn)P使△PCQ△ACH相似?若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說明理由.

【答案】1y=x22x+32)故四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣1, ),點(diǎn)F坐標(biāo)為(﹣1, ),四邊形BDEF周長(zhǎng)的最小值是+1+;(3點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣

【解析】試題分析:1)將點(diǎn)A-3,0)、B10)代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、b的方程組即可;

2)先求得C-1,4).將D點(diǎn)向下平移1個(gè)單位,得到點(diǎn)M,連結(jié)AM交對(duì)稱軸于F,作DEFM交對(duì)稱軸于E點(diǎn),則四邊形BDEF周長(zhǎng)的最小值=BD+EF+AM,然后求得直線AM的解析式,從而可求得點(diǎn)F的坐標(biāo),最后依據(jù)EF=1可得到點(diǎn)E的坐標(biāo);

3)當(dāng)△PCQ∽△ACH時(shí),∠PCQ=ACH.過點(diǎn)ACA的垂線交PC與點(diǎn)F,作FNx軸與點(diǎn)N.則AFPQ,先證明△CPQ∽△CFAFNA∽△AHC,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得AN=2FN=1,則F-5,1),然后再求得直線CF的解析式,將CF的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立組成方程組可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析:

1)解:∵拋物線y=ax2+bx+3過點(diǎn)A﹣3,0),B10),

,解得 ,

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3

2)解:∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣x+12+4

∴頂點(diǎn)C﹣1,4).

D點(diǎn)向下平移1個(gè)單位,得到點(diǎn)M,連結(jié)AM交對(duì)稱軸于F,作DEFM交對(duì)稱軸于E點(diǎn),如圖1所示.

EFDMDEFM,

∴四邊形EFMD是平行四邊形,

DE=FM,EF=DM=1

DE+FB=FM+FA=AM

由勾股定理,得AM= = = ,

BD== = ,

四邊形BDEF周長(zhǎng)的最小值=BD+DE+EF+FB=BD+EF+DE+FB=BD+EF+AM= +1+

設(shè)AM的解析式為y=mx+n,將A3,0),M0,2)代入,解得m=,n=2,則AM的解析式為y= x+2

當(dāng)x=1時(shí),y=,即F1 ),

EF=1,得E1, ).

故四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣1 ),點(diǎn)F坐標(biāo)為(﹣1, ),四邊形BDEF周長(zhǎng)的最小值是 +1+ ;

3)解:點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè),當(dāng)△PCQ∽△ACH時(shí),∠PCQ=ACH

過點(diǎn)ACA的垂線交PC與點(diǎn)F,作FNx軸與點(diǎn)N.則AFPQ

∴△CPQ∽△CFA,

= =2

∵∠CAF=90°,

∴∠NAF+CAH=90°,NFA+NAF=90°,

∴∠BFA=CAH

又∵∠FNA=AHC=90°

∴△FNA∽△AHC,

== =,即 = =

AN=2FN=1

F﹣5,1).

設(shè)直線CF的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)C和點(diǎn)F的坐標(biāo)代入得: ,解得:k= ,b=

∴直線CF的解析式為y= x+

y= x+ y=x22x+3聯(lián)立得: ,

解得: (舍去).

P, ).

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ).

點(diǎn)睛: 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定、軸對(duì)稱的性質(zhì),找出四邊形BDEF周長(zhǎng)取得最小值的條件是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知,如圖ABCD,∠B80°,∠BCE20°,∠CEF80°,請(qǐng)判斷ABEF的位置關(guān)系,并說明理由.

解:理由如下:

ABCD

∴∠B=∠BCD   

∵∠B80°,

∴∠BCD80°   

∵∠BCE20°

∴∠ECD100°,

又∵∠CEF80°

   +   180°,

EF   

又∵ABCD,

ABEF   

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,二次函數(shù)yx24x3的圖象與x軸交于AB兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)),y軸交于點(diǎn)C拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D.

(1)求點(diǎn)A,點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)y軸上是否存在一點(diǎn)P,使PBC為等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)若動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)MN同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),問點(diǎn)M,N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)MNB的面積最大,試求出最大面積.

    (備用圖)

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【題目】如圖,△ABCBA=BC,點(diǎn)DAB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DF⊥ACFBCE,

求證:△DBE是等腰三角形.

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【題目】在一個(gè)不透明的盒子中放有四張卡片,每張卡片上寫有一個(gè)實(shí)數(shù),分別為2,,1.(卡片除了實(shí)數(shù)不同外,其余均相同)

(1)從盒子中隨機(jī)抽取一張卡片,請(qǐng)直接寫出卡片上的實(shí)數(shù)是有理數(shù)的概率;

(2)將卡片揺勻后先隨機(jī)抽出一張,再從剩下的卡片中隨機(jī)抽出一張,然后將抽取的兩張卡片上的實(shí)數(shù)相乘,請(qǐng)你用列表法或樹狀圖(樹形圖)法,求抽取的兩張卡片上的實(shí)數(shù)之積為整數(shù)的概率。

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【題目】小淇在說明 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是真命題,部分思路如下:如圖,在∠ACB內(nèi)做∠BCD=∠B,CDAB相交于點(diǎn)D…….請(qǐng)根據(jù)以上思路,完成證明.

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【題目】建設(shè)中的大外環(huán)路是我市的一項(xiàng)重點(diǎn)民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量為120萬立方,原計(jì)劃由公司的甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)從公路的兩端同時(shí)相向施工150天完成.由于特殊情況需要,公司抽調(diào)甲隊(duì)外援施工,由乙隊(duì)先單獨(dú)施工40天后甲隊(duì)返回,兩隊(duì)又共同施工了110天,這時(shí)甲乙兩隊(duì)共完成土方量103.2萬立方.

(1)問甲、乙兩隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量分別為多少萬立方?

(2)在抽調(diào)甲隊(duì)外援施工的情況下,為了保證150天完成任務(wù),公司為乙隊(duì)新購進(jìn)了一批機(jī)械來提高效率,那么乙隊(duì)平均每天的施工土方量至少要比原來提高多少萬立方才能保證按時(shí)完成任務(wù)?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】ABC中,D、E分別是邊AB、BC上的點(diǎn),AECD交于點(diǎn)F,且∠CFE=∠B。

1)如圖1,求證:∠AEC=∠CDB

2)如圖2,過點(diǎn)CCGAC,交AB于點(diǎn)GCDCB,∠ACD =∠CAB-∠B,求證:ACGC;

3)如圖3,在(2)的條件下,CECDAE,CG,求線段BC的長(zhǎng)。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】 推理填空

已知:如圖所示,點(diǎn)BC,E在同一條直線上,ABCD,∠1=2,∠3=4,求證:ADBE

證明:∵ABCD(已知)

∴∠4=____________

∵∠3=4(已知)∴∠3=____________

∴∠1=2(已知)∴∠1+CAF=2+CAF(等式的性質(zhì))

即∠BAF=DAC

∴∠3=______(等量代換)

ADBE______

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