【題目】如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),函數(shù)(x>0,m是常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)A(1,4),B(a,b),其中a>1.過(guò)點(diǎn)A作x軸垂線,垂足為C,過(guò)點(diǎn)B作y軸垂線,垂足為D,連接AD,DC,CB.
(1)若△ABD的面積為4,求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求證:DC∥AB;
(3)當(dāng)AD=BC時(shí),求直線AB的函數(shù)解析式.
【答案】(1)(3, );(2)見(jiàn)解析;(3)y=2x+6或y=x+5.
【解析】
(1)由函數(shù)(x>0,m是常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)A(1,4),可求m=4,由已知條件可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,),又由△ABD的面積為4,即a(4-)=4,得a=3,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,);
(2)依題意可證, ,,所以DC∥AB;
(3)由于DC∥AB,當(dāng)AD=BC時(shí),有兩種情況:①當(dāng)AD∥BC時(shí),四邊形ADCB是平行四邊形,由(2)得,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,2),設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b,用待定系數(shù)法可以求出解析式(把點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入),是y=-2x+6.
②當(dāng)AD與BC所在直線不平行時(shí),四邊形ADCB是等腰梯形,則BD=AC,可求點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,1),設(shè)直線AB的函數(shù)解析式y=kx+b,用待定系數(shù)法可以求出解析式(把點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入),是y=-x+5.
(1)∵函數(shù) (x>0,m是常數(shù))圖象經(jīng)過(guò)A(1,4),
∴m=4.
∴y= ,
設(shè)BD,AC交于點(diǎn)E,據(jù)題意,可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(a, ),D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, ),E點(diǎn)的坐標(biāo)為(1, ),
∵a>1,
∴DB=a,AE=4.
由△ABD的面積為4,即a(4)=4,得a=3,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3, );
(2)證明:據(jù)題意,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0),DE=1,
∵a>1,
易得EC=,BE=a1,
∴.
∴且∠AEB=∠CED,
∴△AEB∽△CED,
∴∠ABE=∠CDE,
∴DC∥AB;
(3)∵DC∥AB,
∴當(dāng)AD=BC時(shí),有兩種情況:
①當(dāng)AD∥BC時(shí),四邊形ADCB是平行四邊形,由(2)得,
=a1,
∴a1=1,得a=2.
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,2).
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b,把點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入,
得 ,
解得.
故直線AB的函數(shù)解析式是y=2x+6.
②當(dāng)AD與BC所在直線不平行時(shí),四邊形ADCB是等腰梯形,則BD=AC,
∴a=4,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,1).
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b,把點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入,
得 ,
解得 ,
故直線AB的函數(shù)解析式是y=x+5.
綜上所述,所求直線AB的函數(shù)解析式是y=2x+6或y=x+5.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6相交于A(, )和B(4,m),點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸,交拋物線于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)是否存在這樣的點(diǎn)P,使線段PC的長(zhǎng)有最大值?若存在,求出這個(gè)最大值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)△PAC為直角三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品,若購(gòu)進(jìn)A種商品20件和B種商品15件需380元;若購(gòu)進(jìn)A種商品15件和B種商品10件需280元.
(1)求A、B兩種商品的進(jìn)價(jià)分別是多少元?
(2)若購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品共100件,總費(fèi)用不超過(guò)900元,問(wèn)最多能購(gòu)進(jìn)A種商品多少件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,圖中所有的三角形都是直角三角形,四邊形都是正方形,已知正方形A,B,C,D的邊長(zhǎng)分別是12,16,9,12,則最大正方形E的面積是_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如下表,從左邊第1個(gè)格子開(kāi)始依次在每個(gè)格子中填入一個(gè)正整數(shù),第1個(gè)格子填入,第2個(gè)格子填入,第3個(gè)格子填入,…,第n個(gè)格子填入,以此類(lèi)推. 表中任意4個(gè)相鄰格子中所填正整數(shù)之和都相等,其中.
… | … |
(1)若,求;;
(2)將表中前2020個(gè)數(shù)的和記為S,若,求S的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=6,BC=10,點(diǎn)E在CD上,將△BCE沿BE折疊,點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處;點(diǎn)G在AF上,將△ABG沿BG折疊,點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處,有下列結(jié)論:
①∠EBG=45°;②△DEF∽△ABG;③S△ABG=S△FGH;④AG+DF=FG.
其中正確的是__.(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有這樣一個(gè)問(wèn)題:探究函數(shù)y=的圖象與性質(zhì).小美根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)函數(shù)y=的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究下面是小美的探究過(guò)程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:
(1)函數(shù)y=的自變量x的取值范圍是 ;
(2)下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值.
x | -2 | - | -1 | - | 1 | 2 | 3 | 4 | … | ||
y | 0 | - | -1 | - | m | … |
求m的值;
(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出了以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn).根據(jù)描出的點(diǎn),畫(huà)出該函數(shù)的圖象;
(4)結(jié)合函數(shù)的圖象,寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì): .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如下圖所示,它們是一個(gè)按一定規(guī)律構(gòu)造的,第(1)個(gè)圖中有3個(gè)三角形,第(2)個(gè)圖中有7個(gè)三角形,第(3)個(gè)圖中有_____個(gè)三角形,依次規(guī)律第個(gè)圖形中有__________個(gè)三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖(1),在矩形DEFG中,DE=3,EG=6,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,AC=6,△ABC的一邊BC和矩形的一邊DG在同一直線上,點(diǎn)C和點(diǎn)D重合,Rt△ABC將從D以每秒1個(gè)單位的速度向DG方向勻速平移,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)G重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,解答下列問(wèn)題:
(1)如圖(2),當(dāng)AC過(guò)點(diǎn)E時(shí),求t的值;
(2)如圖(3),當(dāng)AB與DE重合時(shí),AC與EF、EG分別交于點(diǎn)M、N,求CN的長(zhǎng);
(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,設(shè)Rt△ABC與△EFG重疊部分面積為y,請(qǐng)求出y與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出相應(yīng)t的取值范圍.
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