Question

如圖，拋物線c₁：y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．點P為線段BC上一點，過點P作直線l⊥x軸于點F，交拋物線c₁點E．
（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點P在線段BC上運動時，求線段PE長的最大值；
（3）當(dāng)PE為最大值時，把拋物線c₁向右平移得到拋物線c₂，拋物線c₂與線段BE交于點M，若直線CM把△BCE的面積分為1：2兩部分，則拋物線c₁應(yīng)向右平移幾個單位長度可得到拋物線c₂？

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線的解析式即可求出A、B、C三點的坐標(biāo)．
（2）由于直線l與y軸平行，那么F、P、E三點的橫坐標(biāo)就應(yīng)該相等，那么PE的長可看做是直線BC的函數(shù)值和拋物線的函數(shù)值的差．由此可得出關(guān)于PE的長和三點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出PE的最大值．
（3）先用平移的單位設(shè)出c₂的解析式．由于直線CM把△BCE的面積分為1：2兩部分，根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊比，可得出ME：BE=1：2或2：1．因此本題要分兩種情況進行討論，可過M作x軸的垂線，先根據(jù)相似三角形求出M點的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)直線BE的解析式，求出M點的坐標(biāo)．由于拋物線c₂經(jīng)過M點，據(jù)此可求出拋物線需要平移的單位．

解答：解：（1）已知拋物線過A、B、C三點，令y=0，
則有：x²-2x-3=0，
解得x=-1，x=3；
因此A點的坐標(biāo)為（-1，0），B點的坐標(biāo)為（3，0）；
令x=0，y=-3，
因此C點的坐標(biāo)為（0，-3）．

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3．
則有：3k-3=0，k=1，
因此直線BC的解析式為y=x-3．
設(shè)F點的坐標(biāo)為（a，0）．
PE=EF-PF=|a²-2a-3|-|a-3|=-a²+3a=-（a-

3

2

）²+

9

4

（0≤a≤3）
因此PE長的最大值為

9

4

．

（3）由（2）可知：F點的坐標(biāo)為（

3

2

，0）．
因此BF=OB-OF=

3

2

．
設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b．則有：

3k+b=0 3 2 k+b=- 15 4

，
解得：

k= 5 2 b=- 15 2

，
∴直線BE的解析式為y=

5

2

x-

15

2

．
設(shè)平移后的拋物線c₂的解析式為y=（x-1-k）²-4（k＞0）．
過M作MN⊥x軸于N，
①ME：MB=2：1；
∵MN∥EF
∴

BM

BE

=

BN

BF

=

1

3

∴BN=

1

2

，
∴N點的坐標(biāo)為（

5

2

，0），又直線BE過M點．
∴M點坐標(biāo)為（

5

2

，-

5

4

）．
由于拋物線c2過M點，
因此-

5

4

=（

5

2

-1-k）²-4，
解得k=

3+ 11

2

（負(fù)值舍去）．
②ME：MB=1：2；

BM

BE

=

BN

BF

=

2

3

∴BN=1
∴N點的坐標(biāo)為（2，0），
∴M點的坐標(biāo)為（2，-

5

2

）．
由于拋物線c₂過M點，
則有-

5

2

=（2-1-k）²-4，
解得k=1+

6

2

（負(fù)值舍去）．
因此拋物線c₁應(yīng)向右平移

3+ 11

2

或1+

6

2

個單位長度后可得到拋物線c₂．

點評：本題主要考查了一次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)圖象的平移、圖形面積的求法、函數(shù)圖象交點等知識點，考查了學(xué)生分類討論數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．